Условие
Отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ соединяют вершины треугольника ABC с внутренними точками противоположных сторон. Докажите, что середины этих отрезков не лежат на одной прямой.
Разбор задания
Номер 863 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · § 10. Метод координат · страница 29
Решение
- Пусть A₀, B₀, C₀ — середины сторон BC, CA, AB. Середина P отрезка AA₁ лежит на средней линии B₀C₀: при гомотетии с центром A и коэффициентом ½ отрезок BC переходит в отрезок C₀B₀, а точка A₁ — в P; так как A₁ — внутренняя точка BC, точка P — внутренняя точка отрезка B₀C₀.
- Так же середина Q отрезка BB₁ — внутренняя точка стороны C₀A₀ треугольника A₀B₀C₀, а середина R отрезка CC₁ — внутренняя точка стороны A₀B₀.
- Прямая, не содержащая сторону треугольника, пересекает его границу не более чем в двух точках. Точки P, Q, R лежат на трёх разных сторонах треугольника A₀B₀C₀ и не совпадают с его вершинами, поэтому не могут лежать на одной прямой.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →