Условие
Из вершины A треугольника ABC проведены перпендикуляры AM и AK к биссектрисам внешних углов этого треугольника при вершинах B и C. Докажите, что отрезок MK равен половине периметра треугольника ABC.
Разбор задания
Номер 862 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · § 10. Метод координат · страница 29
Решение
- Биссектриса внешнего угла при вершине B — ось симметрии, переводящая луч BA в луч, дополнительный к лучу BC. Точка A₁, симметричная A относительно этой биссектрисы, лежит на прямой BC за точкой B, причём BA₁ = BA, а M — середина AA₁ (основание перпендикуляра из A на ось симметрии).
- Аналогично точка A₂, симметричная A относительно биссектрисы внешнего угла C, лежит на прямой BC за точкой C, CA₂ = CA, и K — середина AA₂.
- MK — средняя линия треугольника AA₁A₂: MK = ½A₁A₂ = ½(A₁B + BC + CA₂) = ½(AB + BC + CA).
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →