Условие
В треугольнике ABC, сторона AC которого в два раза больше стороны BC, проведены биссектриса CM и биссектриса внешнего угла при вершине C, пересекающая прямую AB в точке K. Докажите, что S(BCM) = ½S(ACM) = ⅓S(ABC) = ¼S(CMK).
Разбор задания
Номер 865 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · § 10. Метод координат · страница 30
Решение
- Все рассматриваемые треугольники имеют общую высоту из вершины C к прямой AB, поэтому их площади относятся как основания на этой прямой.
- По свойству биссектрисы AM/MB = AC/BC = 2, значит BM = ⅓AB и AM = ⅔AB: S(BCM) = ⅓S(ABC), S(ACM) = ⅔S(ABC), то есть S(BCM) = ½S(ACM).
- По свойству биссектрисы внешнего угла (задача 619) BK/AK = BC/AC = ½; точка K лежит на продолжении AB за B, поэтому AK = AB + BK и BK = ½(AB + BK), откуда BK = AB.
- MK = MB + BK = ⅓AB + AB = 4/3·AB, значит S(CMK) = 4/3·S(ABC) = 4S(BCM). Итак, S(BCM) = ¼S(CMK). (В условии учебника последнее отношение записано как ½; верное значение — ¼.)
Ответ
Доказано: S(BCM) = ½S(ACM) = ⅓S(ABC) = ¼S(CMK).
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →