Номер 864 — Геометрия 9 класс

Середины трёх высот треугольника лежат на одной прямой. Докажите, что этот треугольник прямоугольный.

1. Введём координаты: B(0; 0), C(a; 0), A(p; h), h > 0. Основание высоты из A — A₁(p; 0), её середина P(p; h/2).
2. Основание высоты из B на AC: B₁ = A + t(C − A), где t = (v − ap)/u, v = p² + h², u = (a − p)² + h² (это условие BB₁ ⟂ AC). Середина Q = ½B₁. Основание высоты из C на AB: C₁ = (ap/v)(p; h), середина R = ½(C + C₁).
3. Условие принадлежности точек P, Q, R одной прямой — равенство нулю «векторного произведения» (Q − P) × (R − P). Прямое вычисление даёт для этой величины (с точностью до ненулевого множителя) выражение p·(v − ap)·(a − p).
4. Оно равно нулю в трёх случаях: p = 0 — тогда A лежит над B и ∠B = 90°; p = a — ∠C = 90°; v − ap = 0, то есть p² − ap + h² = 0. Последнее выражение — скалярное произведение AB⃗·AC⃗ = (−p)(a − p) + (−h)(−h) = p² − ap + h², и его обращение в нуль означает ∠A = 90°.
5. Во всех случаях треугольник прямоугольный. (Обратно, у прямоугольного треугольника с ∠B = 90° середины высот — точки C₀, A₀ и середина высоты BB₁ — лежат на средней линии, параллельной AC.)