Условие
Стороны треугольника EFG соответственно равны медианам треугольника ABC. Докажите, что S(EFG)/S(ABC) = 3/4.
Разбор задания
Номер 866 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · § 10. Метод координат · страница 30
Решение
- Пусть медианы AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в точке O, S = S(ABC). Отложим на продолжении OA₁ отрезок A₁D = OA₁. Четырёхугольник OBDC — параллелограмм (диагонали делятся пополам), поэтому CD = OB.
- Стороны треугольника OCD: OC = ⅔CC₁, CD = OB = ⅔BB₁, OD = 2OA₁ = ⅔AA₁. Значит, треугольник OCD подобен треугольнику EFG с коэффициентом ⅔, и S(OCD) = 4/9·S(EFG).
- Медианы делят треугольник на шесть равновеликих треугольников: S(OCA₁) = S/6. Треугольник A₁CD равен треугольнику A₁OB (по двум сторонам и углу между ними), S(A₁CD) = S/6. Тогда S(OCD) = S(OCA₁) + S(A₁CD) = S/3.
- 4/9·S(EFG) = S/3, откуда S(EFG) = 3S/4.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →