Номер 870 — Геометрия 9 класс

Точка C лежит на отрезке AB. Постройте точку D прямой AB, не лежащую на отрезке AB, так, чтобы AD/DB = AC/CB. Всегда ли задача имеет решение?

1. Построение. Через точки A и B проведём две параллельные прямые. Через C проведём произвольную прямую, пересекающую их в точках P (на прямой через A) и Q (на прямой через B). Из подобия треугольников ACP и BCQ: AP/BQ = AC/CB.
2. На прямой через B отложим BQ₁ = BQ по другую сторону от прямой AB. Прямая PQ₁ пересекает прямую AB в точке D вне отрезка AB (P и Q₁ лежат по одну сторону от AB). Из подобия треугольников ADP и BDQ₁: AD/DB = AP/BQ₁ = AP/BQ = AC/CB — D искомая.
3. Если AC = CB, то AP = BQ₁ и PQ₁ ∥ AB — решения нет. Итак, задача имеет решение тогда и только тогда, когда C — не середина AB.