Номер 872 — Геометрия 9 класс

Постройте треугольник по двум сторонам и биссектрисе угла между ними.

1. Даны стороны b = AC, c = AB и биссектриса l = AD. Проведём через D прямую, параллельную AB, до пересечения с AC в точке E. Треугольник AED равнобедренный (∠EDA = ∠DAB = ∠DAE), AE = ED, и по задаче 626 AE = bc/(b + c).
2. Построение. 1) Строим отрезок x = bc/(b + c) как четвёртый пропорциональный (x/b = c/(b + c), задача 628). 2) Строим треугольник AED по трём сторонам: AE = ED = x, AD = l. 3) На луче AE откладываем AC = b. 4) От луча AD по другую сторону откладываем угол, равный углу DAE, и на полученном луче откладываем AB = c.
3. Доказательство. AD — биссектриса угла BAC по построению. Прямая через D, параллельная AB, отсекает на AC отрезок AE = bc/(b + c) — ровно такой, как в искомом треугольнике; значит точка D лежит на BC (в противном случае биссектриса пересекла бы BC в другой точке D′ с тем же AE′ = AE, и D′ = D). Итак, ABC — искомый треугольник.
4. Задача имеет решение, если l < 2bc/(b + c) (треугольник AED существует).