Номер 871 — Геометрия 9 класс

Постройте равнобедренный треугольник по углу между боковыми сторонами и сумме основания и высоты, проведённой к основанию.

1. Даны угол φ и отрезок s (сумма основания и высоты). Все равнобедренные треугольники с углом φ при вершине подобны, поэтому используем метод подобия.
2. Построение. 1) Строим произвольный равнобедренный треугольник A₁BC₁ с углом φ при вершине B и его высоту BH₁. 2) На луче BH₁ откладываем H₁K₁ = A₁C₁; тогда BK₁ = A₁C₁ + BH₁ = s₁. 3) На произвольном луче из B откладываем BK = s. 4) Через H₁ проводим прямую, параллельную K₁K; она пересекает луч BK в точке X: BX/BK = BH₁/BK₁, то есть BX = BH₁·s/s₁ — это нужная высота h. 5) На луче BH₁ откладываем BH = BX и через H проводим перпендикуляр к BH; он пересекает лучи BA₁ и BC₁ в точках A и C.
3. Доказательство. Треугольник ABC подобен A₁BC₁ с коэффициентом k = BH/BH₁ = s/s₁, поэтому AC + BH = k(A₁C₁ + BH₁) = k·s₁ = s, а угол при вершине равен φ.