Номер 874 — Геометрия 9 класс

Постройте треугольник по трём высотам.

1. Пусть даны высоты h_a, h_b, h_c. Из 2S = a·h_a = b·h_b = c·h_c следует a : b : c = 1/h_a : 1/h_b : 1/h_c. Умножив все отношения на h_a·h_b, получаем a : b : c = h_b : h_a : (h_a·h_b/h_c).
2. Построение. 1) Строим отрезок x = h_a·h_b/h_c как четвёртый пропорциональный (задача 628). 2) Строим треугольник A₁B₁C₁ со сторонами h_b, h_a, x — он подобен искомому. 3) Проводим в нём высоту h₁ к стороне h_b (сходственной со стороной a). 4) Строим искомый треугольник, подобный A₁B₁C₁ с коэффициентом k = h_a/h₁ (например, откладываем на луче из вершины отрезок h_a вдоль высоты и проводим прямую, параллельную стороне, — как в задаче 873).
3. Доказательство. Стороны построенного треугольника относятся как h_b : h_a : x, то есть как 1/h_a : 1/h_b : 1/h_c, а одна из высот равна h_a; тогда и остальные высоты равны h_b, h_c (высоты обратно пропорциональны сторонам).
4. Задача имеет решение, если из отрезков h_b, h_a, h_a·h_b/h_c можно составить треугольник.