Номер 873 — Геометрия 9 класс

Постройте треугольник ABC, если даны ∠A, ∠C и отрезок, равный сумме стороны AC и высоты BH.

1. Все треугольники с данными углами A и C подобны, поэтому применяем метод подобия. Обозначим данную сумму s.
2. Построение. 1) Строим произвольный треугольник A₁B₁C₁ с углами ∠A₁ = ∠A, ∠C₁ = ∠C и его высоту B₁H₁. 2) На луче B₁H₁ откладываем H₁K₁ = A₁C₁; тогда B₁K₁ = A₁C₁ + B₁H₁ = s₁. 3) На произвольном луче из B₁ откладываем B₁K = s; через H₁ проводим прямую, параллельную K₁K, до пересечения с этим лучом в точке X: B₁X = B₁H₁·s/s₁ — нужная высота h. 4) На луче B₁H₁ откладываем B₁H = B₁X и через H проводим прямую, перпендикулярную B₁H; она пересекает лучи B₁A₁ и B₁C₁ в точках A и C.
3. Доказательство. Треугольник AB₁C подобен A₁B₁C₁ (AC ∥ A₁C₁) с коэффициентом k = B₁H/B₁H₁ = s/s₁, поэтому его углы равны данным, а AC + B₁H = k(A₁C₁ + B₁H₁) = s.