Номер 875 — Геометрия 9 класс

Постройте трапецию по боковой стороне, большему основанию, углу между ними и отношению двух других сторон.

1. Даны AB = c, AD = a (большее основание), ∠A = α и отношение BC : CD = m : n (отрезки m, n).
2. Построение. 1) Строим угол A, равный α, откладываем AB = c и AD = a. 2) Через B проводим прямую ℓ, параллельную AD, — на ней лежит вершина C. 3) Точка C должна удовлетворять условию CB : CD = m : n. Множество точек X с XB : XD = m : n при m ≠ n — окружность (окружность Аполлония): на прямой BD строим точки P и Q, делящие отрезок BD внутренним и внешним образом в отношении m : n (задачи 584 и 870), и проводим окружность с диаметром PQ; при m = n это серединный перпендикуляр к BD. 4) Пересечение этого множества с прямой ℓ даёт точку C (берём точку, для которой BC < AD и C лежит с той же стороны, что D).
3. Доказательство. BC ∥ AD по построению, AB, AD, ∠A — данные, CB : CD = m : n по свойству построенного множества. Число решений — 0, 1 или 2 в зависимости от данных.