Номер 876 — Геометрия 9 класс

Постройте ромб, площадь которого равна площади квадрата, если известно, что отношение диагоналей этого ромба равно отношению данных отрезков.

1. Пусть сторона квадрата a, данные отрезки p и q, диагонали ромба d₁ = kp, d₂ = kq. Из S = d₁d₂/2 = a²: k²pq = 2a², откуда d₁² = 2a²p/q = a·(2ap/q), d₂² = a·(2aq/p).
2. Построение. 1) Строим отрезок x = 2ap/q как четвёртый пропорциональный (x/2a = p/q). 2) Строим d₁ = √(a·x) — среднее пропорциональное отрезков a и x (задача 669). 3) Так же строим y = 2aq/p и d₂ = √(a·y). 4) Проводим две взаимно перпендикулярные прямые, откладываем от точки пересечения по половине d₁ в одну сторону и по половине d₂ в другую и соединяем концы — получаем ромб.
3. Доказательство. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому построенный четырёхугольник — ромб; его площадь d₁d₂/2 = a·√(xy)/2 = a·2a/2 = a², а d₁ : d₂ = √(x/y) = p : q.