Условие
Две окружности имеют единственную общую точку M. Через эту точку проведены две секущие, пересекающие одну окружность в точках A и A₁, а другую — в точках B и B₁. Докажите, что AA₁ ∥ BB₁.
Разбор задания
Номер 877 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · § 10. Метод координат · страница 32
Решение
- Окружности касаются в точке M; проведём через M общую касательную t. Пусть A и B лежат на одной секущей, A₁ и B₁ — на другой.
- Угол между касательной t и хордой MA равен вписанному углу MA₁A первой окружности, опирающемуся на дугу MA. Угол между t и хордой MB равен вписанному углу MB₁B второй окружности.
- При внешнем касании точки A и B лежат по разные стороны от M на одной прямой, и углы между t и хордами MA, MB — вертикальные, значит равны: ∠MA₁A = ∠MB₁B. Это накрест лежащие углы при прямых AA₁, BB₁ и секущей A₁B₁, поэтому AA₁ ∥ BB₁.
- При внутреннем касании A и B лежат по одну сторону от M, углы между t и хордами совпадают, ∠MA₁A = ∠MB₁B — соответственные углы, и снова AA₁ ∥ BB₁.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →