Номер 878 — Геометрия 9 класс

Прямая AC — касательная к окружности с центром O₁, а прямая BD — касательная к окружности с центром O₂ (рис. 270). Докажите, что: а) AD ∥ BC; б) AB² = AD·BC; в) BD² : AC² = AD : BC.

1. На рисунке окружности пересекаются в точках A и B; AC касается первой окружности в точке A (C — на второй окружности), BD касается второй окружности в точке B (D — на первой).
2. а) Угол CAB между касательной AC и хордой AB первой окружности равен вписанному углу ADB, опирающемуся на дугу AB. Угол DBA между касательной BD и хордой BA второй окружности равен вписанному углу BCA. Треугольники DAB и ABC подобны по двум углам (∠ADB = ∠BAC, ∠DBA = ∠ACB), поэтому и третьи углы равны: ∠DAB = ∠ABC. Это накрест лежащие углы при прямых AD, BC и секущей AB, значит AD ∥ BC.
3. б) Из подобия (D ↔ A, A ↔ B, B ↔ C): DA/AB = AB/BC, откуда AB² = AD·BC.
4. в) Из того же подобия BD/AC = DA/AB и BD/AC = AB/BC. Перемножая: BD²/AC² = (DA/AB)·(AB/BC) = AD/BC.