Номер 879 — Геометрия 9 класс

Точки B₁ и C₁ — середины дуг AB и AC (рис. 271). Хорда B₁C₁ пересекает хорды AB и AC в точках M и N. Докажите, что AM = AN.

1. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключённых между его сторонами (задача 718).
2. ∠AMN — угол между хордами AB и B₁C₁: ∠AMN = ½(⌣AB₁ + ⌣BC₁), где дуга BC₁ проходит через C. ∠ANM — угол между хордами AC и B₁C₁: ∠ANM = ½(⌣AC₁ + ⌣CB₁), где дуга CB₁ проходит через B.
3. Обозначим ⌣AB₁ = ⌣B₁B = x, ⌣AC₁ = ⌣C₁C = y, ⌣BC = z. Тогда ⌣BC₁ = z + y и ⌣CB₁ = z + x, и ∠AMN = ½(x + y + z) = ∠ANM.
4. В треугольнике AMN углы при основании MN равны, значит AM = AN.