Условие
Через точку A пересечения двух окружностей с центрами в точках O₁ и O₂ проведена прямая, пересекающая одну окружность в точке B, а другую — в точке C. Докажите, что отрезок BC будет наибольшим тогда, когда он параллелен прямой O₁O₂.
Разбор задания
Номер 882 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · § 10. Метод координат · страница 33
Решение
- Опустим перпендикуляры O₁P₁ и O₂P₂ на прямую BC. Перпендикуляр из центра делит хорду пополам: P₁ — середина AB, P₂ — середина AC.
- Точки B и C лежат по разные стороны от A (прямая пересекает каждую окружность в A и ещё в одной точке), поэтому BC = AB + AC = 2AP₁ + 2AP₂ = 2P₁P₂.
- P₁P₂ — проекция отрезка O₁O₂ на прямую BC, а проекция не длиннее самого отрезка: P₁P₂ ≤ O₁O₂, причём равенство достигается только когда BC ∥ O₁O₂.
- Итак, BC ≤ 2O₁O₂, и наибольшее значение 2O₁O₂ достигается при BC ∥ O₁O₂.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →