Условие
Отрезок AB является диаметром окружности с центром O. На каждом радиусе OM окружности отложен от центра O отрезок, равный расстоянию от конца M этого радиуса до прямой AB. Найдите множество концов построенных таким образом отрезков.
Разбор задания
Номер 883 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · § 10. Метод координат · страница 33
Решение
- Пусть R — радиус, K и K₁ — концы диаметра, перпендикулярного AB. Возьмём радиус OM в полуплоскости точки K, φ = ∠MOA; расстояние от M до AB равно R·sin φ, и на луче OM отложена точка X с OX = R sin φ.
- Рассмотрим окружность с диаметром OK (радиус R/2). Для точки Y пересечения луча OM с этой окружностью ∠OYK = 90°, поэтому OY = OK·cos∠KOM = R·cos(90° − φ) = R sin φ = OX. Значит, X = Y лежит на окружности с диаметром OK.
- Обратно, каждая точка этой окружности (кроме O) получается таким построением. Для радиусов в другой полуплоскости получаем окружность с диаметром OK₁. При M = A или M = B расстояние равно нулю, и конец отрезка — сама точка O.
- Искомое множество — две окружности, построенные на радиусах OK и OK₁ (перпендикулярных AB) как на диаметрах.
Ответ
Две окружности с диаметрами OK и OK₁, где KK₁ — диаметр, перпендикулярный AB.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →