Номер 886 — Геометрия 9 класс

Пусть H — точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника ABC, а A′, B′, C′ — точки, симметричные точке H относительно прямых BC, CA, AB. Докажите, что точки A′, B′, C′ лежат на окружности, описанной около треугольника ABC.

1. Рассмотрим остроугольный треугольник (H внутри). ∠HBC = 90° − ∠C (из прямоугольного треугольника BB₁C, где BB₁ — высота), ∠HCB = 90° − ∠B, поэтому ∠BHC = 180° − (90° − ∠C) − (90° − ∠B) = ∠B + ∠C = 180° − ∠A.
2. При симметрии относительно BC угол BHC переходит в угол BA′C: ∠BA′C = 180° − ∠A, причём A′ лежит по другую сторону от BC, чем A.
3. В четырёхугольнике ABA′C сумма противоположных углов ∠BAC + ∠BA′C = 180°, значит около него можно описать окружность — это окружность, проходящая через A, B, C. Итак, A′ лежит на описанной окружности.
4. Аналогично для B′ и C′. Если треугольник тупоугольный, рассуждение то же с заменой некоторых углов на смежные: например, при тупом угле A получаем ∠BHC = ∠A и точку A′ по ту же сторону от BC, что и A, а равные вписанные углы снова дают ту же окружность.