Номер 885 — Геометрия 9 класс

Через каждую вершину треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла треугольника при этой вершине. Проведённые прямые, пересекаясь, образуют новый треугольник. Докажите, что вершины этого треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы треугольника ABC.

1. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны, поэтому прямая, проходящая через вершину A перпендикулярно биссектрисе угла A, — это биссектриса внешнего угла при вершине A. Аналогично для B и C.
2. Пусть биссектрисы внешних углов при B и C пересекаются в точке O_A. Точка O_A равноудалена от прямых AB и BC (лежит на биссектрисе угла между ними) и от прямых BC и AC. Значит, O_A равноудалена от прямых AB и AC.
3. Точка O_A лежит внутри угла BAC (она находится по ту же сторону от AB, что и C, и по ту же сторону от AC, что и B), а точки внутри угла, равноудалённые от его сторон, лежат на биссектрисе. Итак, O_A лежит на биссектрисе угла A.
4. Точно так же две другие вершины нового треугольника лежат на биссектрисах углов B и C.