Условие
Отрезок BD — биссектриса треугольника ABC. Докажите, что BD² = AB·BC − AD·DC.
Разбор задания
Номер 887 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · § 10. Метод координат · страница 34
Решение
- Опишем около треугольника окружность и продолжим биссектрису BD до пересечения с ней в точке E.
- Треугольники ABD и EBC подобны: ∠ABD = ∠EBC (BD — биссектриса), ∠BAD = ∠BEC (вписанные, опираются на дугу BC). Поэтому AB/EB = BD/BC, то есть AB·BC = BD·BE.
- BE = BD + DE, значит AB·BC = BD² + BD·DE. По свойству пересекающихся хорд AC и BE: BD·DE = AD·DC.
- Отсюда BD² = AB·BC − AD·DC.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →