Условие
Из вершины B треугольника ABC проведены высота BH и биссектриса угла B, которая пересекает в точке E описанную около треугольника окружность с центром O. Докажите, что луч BE является биссектрисой угла OBH.
Разбор задания
Номер 888 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · § 10. Метод координат · страница 34
Решение
- Биссектриса угла B делит дугу AC (не содержащую B) пополам: ⌣AE = ⌣EC, так как вписанные углы ABE и EBC равны. Значит, E — середина дуги AC, и радиус OE перпендикулярен хорде AC (серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр и середину дуги).
- BH ⟂ AC и OE ⟂ AC, поэтому OE ∥ BH, и ∠OEB = ∠EBH как накрест лежащие при секущей BE.
- Треугольник OBE равнобедренный (OB = OE — радиусы), значит ∠OEB = ∠OBE.
- Итак, ∠OBE = ∠EBH: луч BE — биссектриса угла OBH.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →