Условие
Произвольная точка X окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC, соединена отрезками с его вершинами. Докажите, что один из отрезков AX, BX и CX равен сумме двух других отрезков.
Разбор задания
Номер 889 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · § 10. Метод координат · страница 34
Решение
- Пусть X лежит на дуге BC, не содержащей A. Докажем, что AX = BX + CX. Отметим на отрезке AX точку D с XD = XB.
- ∠BXA = ∠BCA = 60° (вписанные углы, опирающиеся на дугу AB), поэтому равнобедренный треугольник BXD с углом 60° — равносторонний: BD = BX, ∠DBX = 60°.
- ∠ABD = ∠ABC − ∠DBC = 60° − ∠DBC = ∠DBX − ∠DBC = ∠CBX. Треугольники ABD и CBX равны по двум сторонам и углу между ними (AB = CB, BD = BX, ∠ABD = ∠CBX), поэтому AD = CX.
- AX = AD + DX = CX + BX. Если X лежит на другой дуге, аналогично наибольший из отрезков равен сумме двух других.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →