Условие
Докажите, что если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов противоположных сторон четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности.
Разбор задания
Номер 890 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · § 10. Метод координат · страница 35
Решение
- Пусть диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P под прямым углом. В прямоугольном треугольнике ABP: ∠BAC + ∠ABD = 90°. Вписанный угол BAC равен половине дуги BC, угол ABD — половине дуги AD, значит ⌣BC + ⌣AD = 180° и ⌣AB + ⌣CD = 180°.
- Проведём диаметр BE. Тогда ⌣AE = 180° − ⌣AB = ⌣CD, а равные дуги стягиваются равными хордами: AE = CD.
- Вписанный угол BAE опирается на диаметр, ∠BAE = 90°, и по теореме Пифагора AB² + AE² = BE² = (2R)².
- Итак, AB² + CD² = (2R)²; точно так же BC² + AD² = (2R)².
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →