Номер 891 — Геометрия 9 класс

В четырёхугольнике ABCD, вписанном в окружность, биссектрисы углов A и B пересекаются в точке, лежащей на стороне CD. Докажите, что CD = BC + AD.

1. Пусть P — точка пересечения биссектрис, лежащая на CD. Если AD ∥ BC, то трапеция ABCD равнобедренная, ∠A = ∠B, и по симметрии треугольники APD и BPC равнобедренные (∠APD = 180° − ∠D − ∠A/2 = ∠B − ∠A/2 = ∠A/2 = ∠PAD), откуда DP = DA, CP = CB и CD = AD + BC.
2. Пусть прямые AD и BC пересекаются в точке X (D и C лежат между X и A, B соответственно). Точка P лежит на биссектрисах углов XAB и XBA, значит P — центр вписанной окружности треугольника XAB, а её радиус r равен расстоянию от P до прямых XA и XB.
3. Четырёхугольник вписанный, поэтому ∠XDC = ∠ABC (внешний угол вписанного четырёхугольника равен противоположному внутреннему), и треугольник XDC подобен треугольнику XBA с коэффициентом k: XD = k·XB, XC = k·XA, DC = k·AB.
4. Площадь треугольника XDC двумя способами: S(XDC) = S(XDP) + S(XPC) = ½r(XD + XC) = ½rk(XA + XB), и S(XDC) = k²·S(XAB) = k²·½r(XA + XB + AB). Приравнивая: XA + XB = k(XA + XB + AB), то есть (1 − k)(XA + XB) = k·AB.
5. AD + BC = (XA − XD) + (XB − XC) = (XA − k·XB) + (XB − k·XA) = (1 − k)(XA + XB) = k·AB = CD.