Условие
Докажите, что в любом четырёхугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея).
Разбор задания
Номер 893 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · § 10. Метод координат · страница 35
Решение
- Пусть ABCD — вписанный четырёхугольник. На диагонали AC возьмём точку P так, что ∠ABP = ∠DBC (луч BP лежит внутри угла ABC, так как ∠ABC > ∠DBC).
- Треугольники ABP и DBC подобны по двум углам: ∠ABP = ∠DBC, ∠BAP = ∠BAC = ∠BDC (вписанные, опираются на дугу BC). Значит, AP/DC = AB/DB, то есть AP·BD = AB·CD.
- Треугольники CBP и DBA подобны: ∠CBP = ∠ABC − ∠ABP = ∠ABC − ∠DBC = ∠DBA, ∠BCP = ∠BCA = ∠BDA (опираются на дугу AB). Значит, CP/DA = BC/BD, то есть CP·BD = BC·AD.
- Складывая: (AP + CP)·BD = AB·CD + BC·AD, то есть AC·BD = AB·CD + BC·AD.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →