Номер 894 — Геометрия 9 класс

Докажите, что в любом треугольнике радиус R описанной окружности, радиус r вписанной окружности и расстояние d между центрами этих окружностей связаны равенством d² = R² − 2Rr (формула Эйлера).

1. Пусть O — центр описанной окружности, I — центр вписанной, прямая AI пересекает описанную окружность второй раз в точке M (середина дуги BC). Проведём через I диаметр описанной окружности с концами K и L: IK = R − d, IL = R + d. По свойству пересекающихся хорд AI·IM = IK·IL = R² − d².
2. Покажем, что MI = MB. ∠MBI = ∠MBC + ∠CBI = ∠MAC + ∠B/2 = ∠A/2 + ∠B/2 (∠MBC = ∠MAC как вписанные на дуге MC). ∠MIB — внешний угол треугольника ABI: ∠MIB = ∠IAB + ∠IBA = ∠A/2 + ∠B/2. Значит, треугольник MBI равнобедренный, MI = MB.
3. Хорда MB стягивает вписанный угол MAB = ∠A/2, поэтому MB = 2R·sin(A/2). Из прямоугольного треугольника с катетом r (радиус, проведённый в точку касания на стороне AB) и гипотенузой AI: AI = r/sin(A/2).
4. AI·IM = (r/sin(A/2))·2R·sin(A/2) = 2Rr. Итак, R² − d² = 2Rr, то есть d² = R² − 2Rr.