Номер 895 — Геометрия 9 класс

Для неравностороннего треугольника ABC точка O является центром описанной окружности, H — точка пересечения прямых, содержащих высоты AA₁, BB₁ и CC₁, точки A₂, B₂, C₂ — середины отрезков AH, BH, CH, а точки A₃, B₃, C₃ — середины сторон треугольника ABC. Докажите, что точки A₁, B₁, C₁, A₂, B₂, C₂, A₃, B₃, C₃ лежат на одной окружности (окружность Эйлера).

1. Сначала докажем, что OH⃗ = OA⃗ + OB⃗ + OC⃗. Пусть H′ — точка с OH′⃗ = OA⃗ + OB⃗ + OC⃗. Тогда AH′⃗ = OB⃗ + OC⃗ = 2OA₃⃗, а OA₃ ⟂ BC (O лежит на серединном перпендикуляре к BC). Значит, AH′ ⟂ BC, и H′ лежит на высоте из A; так же H′ лежит на высотах из B и C, то есть H′ = H.
2. Пусть N — середина OH: ON⃗ = ½(OA⃗ + OB⃗ + OC⃗). Тогда NA₃⃗ = OA₃⃗ − ON⃗ = ½(OB⃗ + OC⃗) − ½(OA⃗ + OB⃗ + OC⃗) = −½OA⃗, и NA₃ = R/2. Аналогично NB₃ = NC₃ = R/2.
3. NA₂⃗ = OA₂⃗ − ON⃗ = ½(OA⃗ + OH⃗) − ½OH⃗ = ½OA⃗, поэтому NA₂ = R/2; так же NB₂ = NC₂ = R/2. Итак, шесть точек A₂, B₂, C₂, A₃, B₃, C₃ лежат на окружности с центром N радиуса R/2.
4. NA₂⃗ = −NA₃⃗, значит A₂A₃ — диаметр этой окружности. Основание высоты A₁ лежит на прямой AH (содержащей A₂) и на прямой BC (содержащей A₃), а AH ⟂ BC, поэтому ∠A₂A₁A₃ = 90°. Точка, из которой диаметр виден под прямым углом, лежит на окружности: A₁ принадлежит окружности Эйлера. Аналогично для B₁ и C₁.