Номер 897 — Геометрия 9 класс

Постройте общую касательную к двум данным окружностям.

1. Пусть окружности имеют центры O₁, O₂ и радиусы r₁ ≥ r₂. Пусть искомая касательная касается их в точках A и B; тогда O₁A ⟂ AB, O₂B ⟂ AB.
2. Внешняя касательная (центры по одну сторону от неё). Опустим перпендикуляр O₂K на O₁A: O₂K ∥ AB, KA = O₂B = r₂, значит O₁K = r₁ − r₂ и O₂K — касательная к окружности с центром O₁ радиуса r₁ − r₂. Построение: 1) строим окружность с центром O₁ радиуса r₁ − r₂; 2) из точки O₂ проводим к ней касательную (задача 673), K — точка касания; 3) луч O₁K пересекает первую окружность в точке A; 4) через A проводим прямую, перпендикулярную O₁A, — она и есть искомая касательная (B — основание перпендикуляра из O₂ на неё). Таких касательных две.
3. Внутренняя касательная (центры по разные стороны). Аналогично, но вспомогательная окружность имеет радиус r₁ + r₂: касательная из O₂ к ней, точка касания K, точка A = O₁K ∩ первая окружность, касательная — перпендикуляр к O₁A в точке A. Их тоже две.
4. Число решений зависит от расположения окружностей: 4 при непересекающихся окружностях вне друг друга, 3 при внешнем касании, 2 при пересечении, 1 при внутреннем касании, 0, если одна внутри другой.