Номер 896 — Геометрия 9 класс

Докажите, что основания перпендикуляров, проведённых из произвольной точки окружности, описанной около треугольника, к прямым, содержащим стороны этого треугольника, лежат на одной прямой (прямая Симсона).

1. Пусть P — точка описанной окружности треугольника ABC, лежащая на дуге AC, не содержащей B; X, Y, Z — основания перпендикуляров из P на прямые BC, CA, AB. (Для других положений P рассуждение аналогично.)
2. ∠PXC = ∠PYC = 90°, поэтому точки P, X, C, Y лежат на окружности с диаметром PC, и ∠PXY = ∠PCY (вписанные, опираются на дугу PY). ∠PZB = ∠PXB = 90°, поэтому P, Z, B, X лежат на окружности с диаметром PB, и ∠PXZ = ∠PBZ.
3. Четырёхугольник ABCP вписанный: ∠PCA = ∠PBA, так как это вписанные углы, опирающиеся на дугу PA (точки B и C лежат по одну сторону от хорды PA).
4. Итак, ∠PXY = ∠PCY = ∠PCA = ∠PBA = ∠PBZ = ∠PXZ. Точки Y и Z лежат по разные стороны от прямой PX (Y — на стороне AC, Z — на продолжении AB), и равные углы PXY и PXZ означают, что лучи XY и XZ противоположны: X, Y, Z лежат на одной прямой.