Номер 900 — Геометрия 9 класс

Постройте треугольник: а) по стороне, противолежащему углу и высоте, проведённой к данной стороне; б) по углу, высоте, проведённой из вершины данного угла, и периметру.

1. а) Даны AB = c, ∠C = γ, высота h. Вершина C видит отрезок AB под углом γ, то есть лежит на дуге окружности, вмещающей угол γ: строим её (центр O лежит на серединном перпендикуляре к AB, ∠OAB = 90° − γ при остром γ). Кроме того, C удалена от AB на h — лежит на прямой, параллельной AB на расстоянии h. Пересечение дуги и прямой даёт C. Решений 0, 1 или 2 (с точностью до симметрии).
2. б) Даны ∠A = α, высота h из A и периметр 2p. Вневписанная окружность, касающаяся стороны BC, касается продолжений сторон AB и AC в точках K и L, причём AK = AL = p (отрезки касательных: AK = AB + BK = AB + BM, AL = AC + CM, где M — точка касания на BC; сумма 2p).
3. Построение: 1) строим угол α с вершиной A, откладываем на его сторонах AK = AL = p; 2) строим окружность ω, касающуюся сторон угла в K и L (центр — пересечение перпендикуляров к сторонам в этих точках); 3) строим окружность с центром A радиуса h; 4) проводим общую касательную к ω и этой окружности, пересекающую стороны угла (задача 897), — она содержит сторону BC; B и C — её точки пересечения со сторонами угла.
4. Доказательство: для построенного треугольника ω — вневписанная окружность, поэтому периметр равен 2·AK = 2p, а расстояние от A до BC равно h. Решение существует, если такая касательная пересекает обе стороны угла.