Условие
Постройте треугольник, если дана описанная окружность и на ней точки A, B и M, через которые проходят прямые, содержащие высоту, биссектрису и медиану треугольника, проведённые из одной вершины.
Разбор задания
Номер 901 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · § 10. Метод координат · страница 37
Решение
- Пусть искомая вершина — C, а прямые, содержащие высоту, биссектрису и медиану из C, пересекают окружность (с центром O) вторично в точках A, B и M соответственно.
- Биссектриса из C проходит через середину B дуги, стягиваемой противоположной стороной, поэтому радиус OB перпендикулярен этой стороне. Высота CA тоже перпендикулярна стороне, значит CA ∥ OB.
- Построение: 1) через точку A проводим прямую, параллельную OB; её вторая точка пересечения с окружностью — вершина C; 2) проводим прямую CM (медиану); она пересекает прямую OB в точке K — середине искомой стороны (серединный перпендикуляр к стороне — это прямая OB, а медиана проходит через середину стороны); 3) через K проводим прямую, перпендикулярную OB; её точки пересечения с окружностью — две другие вершины треугольника.
- Доказательство: построенная сторона перпендикулярна OB и делится точкой K пополам, поэтому CK — медиана, CA ⟂ стороне — высота, а CB проходит через середину дуги — биссектриса.
Ответ
Построение описано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →