Номер 902 — Геометрия 9 класс

Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Постройте треугольник, для которого эти точки являются основаниями высот. Сколько решений имеет задача?

1. Пусть A₁, B₁, C₁ — данные точки, ABC — искомый треугольник. По задаче 849 для остроугольного треугольника ABC его высоты являются биссектрисами треугольника A₁B₁C₁, а стороны ABC перпендикулярны этим биссектрисам, то есть содержат биссектрисы внешних углов треугольника A₁B₁C₁.
2. Построение (остроугольный случай): строим биссектрисы внешних углов треугольника A₁B₁C₁; их попарные пересечения — вершины A, B, C. При этом треугольник A₁B₁C₁ должен быть остроугольным: углы ортотреугольника равны 180° − 2∠A и т. д., то есть острые. Если данные точки образуют прямоугольный или тупоугольный треугольник, решений нет.
3. Если ABC тупоугольный, то его высоты и стороны меняются ролями с высотами и сторонами остроугольного треугольника с вершинами в двух его вершинах и ортоцентре; основания высот при этом те же. Поэтому стороны такого треугольника — две биссектрисы внутренних углов A₁B₁C₁ и одна биссектриса внешнего угла. Таких треугольников три (по числу выбора вершины с тупым углом).
4. Итого: если A₁B₁C₁ остроугольный — четыре решения (один остроугольный и три тупоугольных треугольника); иначе решений нет.