Олимпиада по математике 11 класс — заключительный этап ВсОШ 2024/2025: задания и ответы

Черновые критерии оценивания 11 класса. Задача 11.1. (M) Если есть хотя бы два из недочётов M1, M2, M3, то снимается 1 балл: (M1) Мелкие арифметические или алгебраические ошибки. (M2) Упущен случай, когда есть число a для которого на доске нет b такого, что a2 + b2 + 1 = 2ab. (M3) Нет подробного описания принципа разделения на группы. (2) Неверное описание разбиения на группы — не более 5 баллов (3) Разбиение на группы в предположении того, что комплексные числа упорядочены, но порядок не описан — 4 балла Задача 11.2. (M) За использование без доказательства равенства A′ H · A′ A = A′ B · A′ C баллы не снижаются. (M1) Без доказательства используется, что проекция точки пересечения медиан △A1 BC на плоскость ABC — это точка пересечения медиан △ABC — снимается 1 балл. (Z) Доказано, что у △ABC и △A1 BC совпадают основания высот из вершин A и A1 — 0 баллов. (A) Доказано, что HH1 ⊥ A1 BC — 3 балла. (A1) Сформулировано утверждение о том, что HH1 ⊥ A1 BC — 1 балл. (A2) Доказано только, что HH1 ⊥ A1 A′ — 1 балл. (B) Доказано, что △A1 BC, △AB1 C, △ABC1 имеют общую точку T , и M T ⊥ ABC — 2 балла. (B1) Доказано, что △A1 BC, △AB1 C, △ABC1 имеют общую точку пересечения медиан — 1 балл. (C) Задача сведена к тому, что HH1 ⊥ A1 BC (с чёткой формулировкой) — 4 балла. Продвижение (A) не суммируется с (A1) и (A2). Продвижение (B) не суммируется с (B1). Продвижение (C) не суммируется ни с чем. Задача 11.3. (0) Не оценивается. (0.1) Утверждение, что важность пары многочленов (P, Q) равносильна важности иных пар, полученных из нее линейными преобразованиями, например, (P, P + Q) или (Q, −P ) (0.2) Переобозначения для многочленов от двух переменных, например: P (x, y) = P1 (x) + P2 (y) + xy · P3 (x, y) (0.3) P (x, y) ≡ P (a, b) (mod m), если x ≡ a (mod m), y ≡ b (mod m). (0.4) Доказательство того, что в P или Q должны быть мономы, не содержащие одной из переменных. (1) Биективность. Eсли в работе явно сформулировано и доказано одно из следующих утверждений, ставится 1 балл. (1.1) Отображение (x, y) 7→ (P (x, y), Q(x, y)) является биекцией на множестве Z100 × Z100 . (1.2) Для любого вычета по модулю 100 уравнение P (x, y) = c имеет ровно 100 решений. Развитие идеи биекции в терминах графа и дальнейшие попытки его анализировать не оцениваются дополнительными баллами сверх (1.1). (2) Модули. При получении балла за часть (1) можно получить ещё 1 балл за явно сформулированное и доказанное утверждение о том, что отображение из (1.1) является биекцией ещё по какому-то модулю, который является делителем 100. Задача 11.4. (1) Пример хуже оптимального (например, на (2N + 1)2 (N + 1)) — 0 баллов (2) Верный оптимальный пример + подсчёт числа чёрных кубиков в нем + обоснование, что пример удовлетворяет условию — 2 балла. (Обратите внимание, оценивается полный комплект в 2 балла, что не означает, что часть комплекта стоит 1 балл.) (3) Оценка слабее точной (например, что чёрных кубиков не больше (2N + 2)3 /2) — 0 баллов. (4) Доказанная оценка (N + 1)2 (4N + 1) — 4 балла. (5) Сама по себе идея доказательства оценки по индукции — 0 баллов. (6) Сама по себе идея обобщить задачу (например, на параллелепипеды (2N + 1) × (2M + 1) × (2K + 1)) — 0 баллов.

(7) Полный разбор случая N = 1 (пример на 20 и оценка, что нельзя отметить 21 чёрный кубик) приносит 1 балл, который НЕ СУММИРУЕТСЯ с баллами, полученными по остальным критериям. Задача 11.5. (1) Только оценка сверху — 2 балла. (2) Только пример — 3 балла. (3) Есть оценка и работающий алгоритм для построения примера, но отсутствует корректное обоснование работы алгоритма: не более 4 баллов. (4) Грязь в решении, легко исправимые логические ошибки — снимается 1 балл. Задача 11.6. (A) Переформулировка задачи в виде игры, где первый может изменять не больше одного числа, а второй может изменить два подряд идущих — 2 балла (B) Если дополнительно к этому выбранные 10 чисел разбиты на пары и сформулирована идея ходить в ту же пару чисел, что и первый — 4 балла (баллы не суммируются) (C) Легко исправляющиеся ошибки в выборе множества чисел, за которыми следим (например, выбраны числа с номерами, кратными 10, а не 9) — снимается 1 балл. Задача 11.7. Вершины четырёхугольника из касательных обозначены A′ B ′ C ′ D′ . Бонусные баллы по критериям (A), (B), (C), (D) суммируются. (O1) Доказано, что инцентры образуют прямоугольник, стороны которого параллельны биссектрисам углов между сторонами исходного четырёхугольника, или что точки A, B, IA , IB равноудалены от середины дуги — 0 баллов. За использование всех перечисленных фактов без доказательства баллы не снижаются. (O2) Счёт углов зависит от конфигурации точек, деление пополам направленных углов и т. п. — баллы не снижаются. (A) Доказано, что общие касательные из условия параллельны сторонам исходного четырёхугольника — 1 балл. Параллельность должна быть и явно сформулирована, и доказана. Если параллельность следует из проведённого счёта углов, но не объявлена явно, то 1 балл не начисляется. Если параллельность сформулирована, но не доказана (например, объявлена известным фактом), этот 1 балл также не начисляется. В решениях, использующих параллельность без доказательства, за отсутствие этого доказательства снимается 1 балл. (B) Сформулирована гипотеза о соосности окружностей (ABCD), (A′ B ′ C ′ D′ ), (IA IB IC ID ) — 1 балл. (C) Введена точка X пересечения прямых AB и IA IB или все четыре такие точки. Доказано, что они лежат на радикальной оси окружностей (ABCD) и IA IB IC ID — 1 балл. (D) Доказана вписанность ABA′ B ′ либо вписанность IA IB A′ B ′ — 2 балла. (E) Доказано, что отражения вершин четырёхугольника A′ B ′ C ′ D′ относительно центра прямоугольника IA IB IC ID попадают на биссектрисы углов четырёхугольника ABCD — 1 балл. (Суммируется с критерием (A), но не с остальными). (F) Сформулирована верная гипотеза о «равноправности» четырёхугольников ABCD и A′ B ′ C ′ D′ : четыре вписанные окружности для треугольников четырёхугольника ABCD — это на самом деле четыре вневписанные окружности для треугольников четырёхугольника A′ B ′ C ′ D′ — 1 балл. (Суммируется с критерием (A) и (C), но не с остальными). Задача 11.8. Часть (G). Пример. (G1) Ответ и пример с обоснованием — 1 балл. (G2) Только ответ — 0 баллов. (G3) Эскиз графика без пояснения, где встречаются какие длины хорд — 0 баллов. (G4) Верный пример с неверным рассуждением о количестве хорд (например, утверждается, что хорд 4050) — 0 баллов.

(G5) Функция задается эскизом графика, из которого не следуют все необходимые свойства этого графика — 0 баллов. (GM) Арифметические ошибки в подсчете числа хорд (например, 2025 · 2 = 5050) — баллы не снимаются. Часть (Z). Следующие продвижения по оценке стоят 0 баллов. (Z1) Существование хорды длины 1 или длины d, где d — делитель 2025. (Z2) Наблюдение о том, что число хорд длины k равно числу нулей функции f (x + k) − f (x). (Z3) Соображение, что достаточно решать задачу в случае f (0) = f (2025) = 0. (Z4) Идея индукционного доказательства, проверка базы индукции. (Z5) Формулировка, доказательство леммы об альпинистах. (Z6) Доказательство того, что на отрезке между соседними корнями длины t хотя бы [t] хорд. Критерии к следующим частям написаны в предположении f (0) = f (2025) = 0. Часть (A). Оценка с помощью совместного изучения хорд длин k и 2025 − k. (A1) Доказано, что g(k) = f (x + k) − f (x) фиксированного знака для достаточно больших по модулю x — 1 балл. (A2) Гипотеза о том, что хорд длины k и 2025 − k хотя бы 4 и объяснение, почему это выполняется в случае, когда обе функции gk и g2025−k принимают значения обоих знаков — 1 балл. (A3) Рассуждение работает только в случае, когда все g(k) различны при целых k, за исключением g(0) = g(2025) — не более 3 баллов за часть (A). Часть (B). Оценка с помощью намотки графика функции на цилиндр. (B1) График функции нарезан полосами между прямыми x = k, x = k + 1, все кусочки наложены друг на друга параллельным переносом, и задача переформулирована в терминах количества пересечений полученных кусочков графика — 1 балл. (Это эквивалентно намотке графика функции на цилиндр.) (B2) Доказано, что число внутренних хорд, то есть тех хорд, проекции которых на ось Ox содержатся в отрезке [0, 2025], не менее 2024 (не считая самой хорды длины 2025) — 1 балл. (B3) Гипотеза о том, что число внешних (то есть не внутренних) хорд не менее 2024 — 0 баллов. (B4) Не разобран случай поведения на бесконечности, при котором f (x + 1) − f (x) > 0 для достаточно больших по модулю x — не более 2 баллов за часть (B). Часть (С). Оценка с помощью склейки по хорде длины 1. (С1) Доказано, что есть хорда длины 1, скажем [a, a+1], и рассмотрена функция h(x) = f (x), x ⩽ a, h(x) = f (x + 1), x > a — 1 балл. (С2) Разобран случай, когда f (t) — глобальный максимум (минимум) функции f при некотором t ∈ R — 1 балл. (C3) Доказано, что для внутренней хорды длины 1 есть «зацепленная» с ней (зацеплены означает, что их проекции на ось Ox пересекаются, но ни одна не содержится в другой) — 1 балл. (С4) В индукции по n (где в задаче n = 2025) переход сведен к доказательству (C3) — 1 балл. Баллы внутри каждой из частей (A), (B), (C) суммируются. За оценку ставится максимум из баллов за части (A), (B), (C). Баллы за оценку суммируются с баллами за пример (G).

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï, 20242025 ó÷åáíûé ãîä

11 êëàññ 11.1. Íà äîñêó âûïèñàëè 777 ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Îêàçàëîñü, ÷òî ìîæíî ðîâíî 760 ñïîñîáàìè âûáðàòü äâà ÷èñëà a è b, çàïèñàííûõ íà äîñêå, òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ðàâåíñòâî a2 + b2 + 1 = 2ab. Ñïîñîáû, êîòîðûå îòëè÷àþòñÿ ïåðåñòàíîâêîé ÷èñåë, ñ÷èòàþòñÿ îäèíàêîâûìè. Äîêàæèòå, ÷òî ìîæíî âûáðàòü òàêèå äâà ÷èñëà c è d, çàïèñàííûõ íà äîñêå, ÷òî c2 + d2 + 2025 = 2cd. 2 2 Ðåøåíèå. Çàìåòèì, ÷òî óñëîâèå a + b + 1 = 2ab ðàâíî2 ñèëüíî òîìó, ÷òî (a − b) = −1 èëè æå a − b = ±i. Ðàññìîòðèì ãðàô, âåðøèíû êîòîðîãî  çàïèñàííûå íà äîñêó ÷èñëà, à ðåáðî ïðîâîäèòñÿ ìåæäó äâóìÿ ÷èñëàìè, êîòîðûå îòëè÷àþòñÿ íà i. Ñîãëàñíî óñëîâèþ çàäà÷è, â òàêîì ãðàôå ðîâíî 760 ð¼áåð. Êàæäàÿ êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ýòîãî ãðàôà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïóòü è ñîñòîèò èç âåðøèí-÷èñåë âèäà z , z + i, z + 2i, . . . , z + (n − 1)i. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ýòîì ãðàôå k êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè. Òîãäà â í¼ì 777−k ð¼áåð, ïîýòîìó k = 17. Ïîñêîëüêó 17·45 = 765 < 777, òî â êàêîé-òî êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè õîòÿ áû 46 âåðøèí, ïîýòîìó êàêèå-òî äâå èç ýòèõ âåðøèí  ýòî ÷èñëà c è d = c + 45i. Òîãäà (c − d)2 = 452 · i2 = −2025, ñëåäîâàòåëüíî, c2 + d2 + 2025 = 2cd, ÷òî è òðåáîâàëîñü. 11.2. Äàíà ïðÿìàÿ ïðèçìà ABCA1 B1 C1 . Èçâåñòíî, ÷òî òðåóãîëüíèêè A1 BC , AB1 C , ABC1 è ABC  îñòðîóãîëüíûå. Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò ýòèõ òðåóãîëüíèêîâ âìåñòå ñ òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí òðåóãîëüíèêà ABC ëåæàò íà îäíîé ñôåðå. Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì ÷åðåç M è H òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí è âûñîò òðåóãîëüíèêà ABC , à òàêæå îòìåòèì òî÷êó T òàê, −−→ −−→ −−→ −−→ ÷òî 3M T = AA1 = BB1 = CC1 . Ïóñòü ñôåðà ω ïîñòðîåíà íà îòðåçêå HT êàê íà äèàìåòðå. Ïîñêîëüêó ïðÿìàÿ M T ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè ABC , òî òî÷êà M ëåæèò íà ω . Ïîêàæåì, ÷òî íà ñôåðå ω ëåæèò òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò H1 òðåóãîëüíèêà A1 BC , ðàññóæäåíèå äëÿ äâóõ äðóãèõ òðåóãîëüíèêîâ àíàëîãè÷íî. Îáîçíà÷èì ÷åðåç N ñåðåäèíó îòðåçêà BC . Ïîñêîëüêó N A = 21

LI Âñåðîññèéñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâ

B A

H H

M M

H1111 H

N N TT

A′′′′ A

B1

C C A1

C1 Ðèñ. 10 = 3N M , òî÷êà T ëåæèò íà îòðåçêå A1 N , â ÷àñòíîñòè, îíà ëåæèò â ïëîñêîñòè A1 BC . Ïóñòü AA′  âûñîòà òðåóãîëüíèêà ABC . Ïîñêîëüêó ïðÿìàÿ AA1 ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè ABC , òî ∠A1 AA′ = 90◦ , à òàêæå A′ A1 ⊥ BC ïî òåîðåìå î òð¼õ ïåðïåíäèêóëÿðàõ, òî åñòü òî÷êà H1 ëåæèò íà îòðåçêå A1 A′ . Ïîñêîëüêó òî÷êà, ñèììåòðè÷íàÿ òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò H òðåóãîëüíèêà ABC îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé BC , ëåæèò íà åãî îïèñàííîé îêðóæíîñòè, òî A′ H · A′ A = A′ B · A′ C . Ïðèìåíÿÿ òî æå ðàññóæäåíèå äëÿ òðåóãîëüíèêà A1 BC , ìû ïîëó÷àåì, ÷òî A′ H1 · A′ A1 = = A′ B · A′ C = A′ H · A′ A. Ñëåäîâàòåëüíî, ÷åòûð¼õóãîëüíèê AHH1 A1 âïèñàííûé, ïîýòîìó ∠HH1 A1 = 180◦ − ∠A1 AH = 90◦ . Ïîñêîëüêó åù¼ HA′ ⊥ BC è H1 A′ ⊥ BC , âíîâü ïðèìåíÿÿ òåîðåìó î òð¼õ ïåðïåíäèêóëÿðàõ, ìû ïîëó÷àåì, ÷òî ïðÿìàÿ HH1 ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè A1 BC . Çíà÷èò, ∠HH1 T = 90◦ , òî åñòü òî÷êà H1 ëåæèò íà ñôåðå ω , ÷òî è òðåáîâàëîñü. Çàìå÷àíèå. Òî÷êà T  îáùàÿ òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí òðåóãîëüíèêîâ A1 BC, AB1 C, ABC1 . 11.3. Ïàðó ìíîãî÷ëåíîâ F (x, y) è G(x, y) ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè íàçîâ¼ì âàæíîé, åñëè èç äåëèìîñòè íà 100 îáåèõ ðàçíîñòåé F (a, b) − F (c, d) è G(a, b) − G(c, d), ãäå a, b, c, d  öåëûå, ñëåäóåò, ÷òî ÷èñëà a − c è b − d äåëÿòñÿ íà 100. Ñóùåñòâóåò ëè òàêàÿ âàæíàÿ ïàðà ìíîãî÷ëåíîâ P (x, y), Q(x, y), ÷òî ïàðà ìíîãî÷ëåíîâ P (x, y) − xy è Q(x, y) + xy òàêæå ÿâëÿåòñÿ âàæíîé? 22

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï, 20242025 ó÷åáíûé ãîä Îòâåò. Íå ñóùåñòâóåò.

Ðåøåíèå. Ïóñòü ïàðà ìíîãî÷ëåíîâ F

è G  âàæíàÿ. Ðàññìîòðèì ïàðû îñòàòêîâ îò äåëåíèÿ íà 100 ÷èñåë F (a, b) è G(a, b), ãäå a, b  âñåâîçìîæíûå ïàðû öåëûõ ÷èñåë îò 0 äî 99. Ñîãëàñíî óñëîâèþ çàäà÷è, âñå òàêèå ïàðû îñòàòêîâ ðàçíûå. Ïîñêîëüêó âñåãî ïàð ÷èñåë 1002 , òî êàæäàÿ ïàðà îñòàòêîâ îò äåëåíèÿ íà 100 äîñòèãàåòñÿ ðîâíî îäèí ðàç. Çíà÷èò, äîñòèãàþòñÿ âñå 4 âîçìîæíûå ïàðû ÷¼òíîñòåé ÷èñåë F (a, b), G(a, b). Ïîñêîëüêó ÷¼òíîñòü çíà÷åíèÿ ìíîãî÷ëåíà ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè â òî÷êå (a, b) çàâèñèò òîëüêî îò ÷¼òíîñòè ÷èñåë a è b, ìû ïîëó÷àåì, ÷òî ïàðû çíà÷åíèé (F (0, 0); G(0, 0)), (F (1, 0); G(1, 0)), (F (0, 1); G(0, 1)), F (1, 1); G(1, 1)) äàþò âñå ÷åòûðå âîçìîæíûå ïàðû ÷¼òíîñòåé. Îäíàêî çàìåòèì, ÷òî äëÿ ïàð ìíîãî÷ëåíîâ F = P , G = Q è F (x, y) = P (x, y) − xy , G(x, y) = Q(x, y) + xy ïåðâûå òðè ïàðû ÷¼òíîñòåé îäèíàêîâûå, à ïîñëåäíÿÿ ïàðà  ðàçíàÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, îáå òàêèå ïàðû ìíîãî÷ëåíîâ âàæíûìè áûòü íå ìîãóò. 11.4. Äàíî íàòóðàëüíîå ÷èñëî N . Êóá ñî ñòîðîíîé 2N + 1 ñëîæåí èç (2N + 1)3 åäèíè÷íûõ êóáèêîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ  ëèáî ÷¼ðíûé, ëèáî áåëûé. Îêàçàëîñü, ÷òî ñðåäè ëþáûõ 8 êóáèêîâ, èìåþùèõ îáùóþ âåðøèíó è îáðàçóþùèõ êóá 2×2×2, íå áîëåå 4 ÷¼ðíûõ êóáèêîâ. Êàêîå íàèáîëüøåå êîëè÷åñòâî ÷¼ðíûõ êóáèêîâ ìîãëî áûòü èñïîëüçîâàíî? 2 Îòâåò. (N + 1) (4N + 1). 2 Ðåøåíèå. Ïîëîæèì k = (N + 1) (4N + 1). Ââåä¼ì ñèñòåìó êîîðäèíàò òàê, ÷òî âñå âåðøèíû åäèíè÷íûõ êóáèêîâ áóäóò èìåòü öåëûå êîîðäèíàòû îò 0 äî 2N + 1. Íà÷í¼ì ñ ïðèìåðà, ïîêàçûâàþùåãî, ÷òî êîëè÷åñòâî ÷¼ðíûõ êóáèêîâ äåéñòâèòåëüíî ìîæåò áûòü ðàâíî k . Ó êàæäîãî êóáèêà ðàññìîòðèì åãî âåðøèíó, áëèæàéøóþ ê íà÷àëó êîîðäèíàò (å¼ êîîðäèíàòû ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ îò 0 äî 2N ). Ïóñòü êóáèê ÷¼ðíûé, åñëè õîòÿ áû äâå êîîðäèíàòû ýòîé âåðøèíû ÷¼òíû, è áåëûé èíà÷å. ßñíî, ÷òî òîãäà â ëþáîì êóáå 2 × 2 × 2 áóäåò ðîâíî 4 ÷¼ðíûõ è 4 áåëûõ êóáèêà. Ïðè ýòîì êîëè÷åñòâî ÷¼ðíûõ êóáèêîâ, ó êîòîðûõ âñå òðè ñîîòâåòñòâóþùèõ êîîðäèíàòû ÷¼òíû, ðàâíî (N + 1)3 , à êîëè÷åñòâî êóáèêîâ, ó êîòîðûõ ÷¼òíû ðîâíî äâå êîîðäèíàòû, ðàâíî 3(N + 1)2 N , ïîýòîìó îáùåå êîëè÷åñòâî ÷¼ðíûõ êóáèêîâ áóäåò ðàâíî k . 23

LI Âñåðîññèéñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâ

Îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî ýòîò ïðèìåð îïòèìàëüíûé. Ïóñòü êóá ñëîæåí èç ÷¼ðíûõ è áåëûõ êóáèêîâ òàê, ÷òî âûïîëíåíû óñëîâèÿ çàäà÷è. Íàçîâ¼ì êóáèê ò¼ìíûì èëè ñâåòëûì, åñëè îí ÿâëÿåòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ÷¼ðíûì èëè áåëûì â ïðèâåä¼ííîì âûøå ïðèìåðå. Äëÿ êàæäîé òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè (a, b, c) â áîëüøîì êóáå íàçîâ¼ì å¼ x-, y - è z -ðàíãîì ÷èñëà rx = min(a, 2N + 1 − a), ry = min(b, 2N + 1 − b) è rz = min(c, 2N + 1 − c) ñîîòâåòñòâåííî. Íàçîâ¼ì ðàíãîì ýòîé òî÷êè ÷èñëî r = min(rx , ry , rz ). Èíà÷å ãîâîðÿ, x-, y - èëè z -ðàíã òî÷êè  ýòî ðàññòîÿíèå îò íå¼ äî áëèæàéøåé ãðàíè áîëüøîãî êóáà, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ñîîòâåòñòâóþùåé îñè, à å¼ ðàíã  ýòî ïðîñòî ðàññòîÿíèå îò íå¼ äî áëèæàéøåé ãðàíè áîëüøîãî êóáà. Îòìåòèì âñå âåðøèíû åäèíè÷íûõ êóáèêîâ ñ íå÷¼òíûìè ðàíãàìè. Äëÿ êàæäîé îòìå÷åííîé âåðøèíû ðàññìîòðèì ðàçíîñòü êîëè÷åñòâ ÷¼ðíûõ è áåëûõ êóáèêîâ, ñõîäÿùèõñÿ â ýòîé âåðøèíå; ïîñêîëüêó âñå ýòè âåðøèíû ÿâëÿþòñÿ öåíòðàìè êóáîâ 2 × 2 × 2, ýòà ðàçíîñòü íåïîëîæèòåëüíà. Çíà÷èò, è ñóììà Σ âñåõ òàêèõ ðàçíîñòåé íåïîëîæèòåëüíà. Ñêàæåì, ÷òî êðàòíîñòü åäèíè÷íîãî êóáèêà  ýòî êîëè÷åñòâî åãî îòìå÷åííûõ âåðøèí (ñòîëüêî ðàç ýòîò êóáèê ó÷ò¼í â Σ). Òîãäà Σ ðàâíà ðàçíîñòè ñóììû âñåõ êðàòíîñòåé ÷¼ðíûõ êóáèêîâ è ñóììû êðàòíîñòåé âñåõ áåëûõ êóáèêîâ. Ïîýòîìó íàì äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî åñëè òàêàÿ ðàçíîñòü íåïîëîæèòåëüíà, òî êîëè÷åñòâî ÷¼ðíûõ êóáèêîâ ℓ íå ïðåâîñõîäèò k . Ïóñòü rx , ry è rz  ýòî x-, y - è z -ðàíãè öåíòðà íåêîòîðîãî êóáèêà; ïóñòü äëÿ îïðåäåë¼ííîñòè rx ⩽ ry ⩽ rz . Òîãäà íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî • åñëè rx < ry , òî êðàòíîñòü ýòîãî êóáèêà ðàâíà 4; • åñëè rx = ry = 1/2 + d, ãäå d ÷¼òíî, òî êðàòíîñòü êóáèêà ìåíüøå 4, è îí ò¼ìíûé; • åñëè rx = ry = 1/2 + d, ãäå d íå÷¼òíî, òî êðàòíîñòü êóáèêà áîëüøå 4, è îí ñâåòëûé. Èòàê, êðàòíîñòè âñåõ ò¼ìíûõ êóáèêîâ íå áîëüøå 4, à âñåõ ñâåòëûõ  íå ìåíüøå 4. Ïóñòü òåïåðü s1 ⩽ s2 ⩽ . . . ⩽ s(2N +1)3  êðàòíîñòè âñåõ êóáèêîâ, ðàñïîëîæåííûå â íåóáûâàþùåì ïîðÿäêå. Èç ñêàçàííîãî 24

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï, 20242025 ó÷åáíûé ãîä

âûøå âûòåêàåò, ÷òî s1 + s2 + . . . + sk − sk+1 − . . . − s(2N +1)3 = 0, ïîñêîëüêó â ïðèâåä¼ííîì âûøå ïðèìåðå çíà÷åíèå Σ áûëî ðàâíî 0. Åñëè òåïåðü â ðàññìàòðèâàåìîé ðàñêðàñêå ℓ > k ÷¼ðíûõ êóáèêîâ, òî 0 ⩾ Σ ⩾ s1 + s2 + . . . + sℓ − sl+1 − sℓ+2 − . . . − s(2N +1)3 >

> s1 + s2 + . . . + sk − sk+1 − . . . − s(2N +1)3 = 0, ïîñêîëüêó sk+1 ⩾ 4. Ýòî ïðîòèâîðå÷èå ïîêàçûâàåò, ÷òî ℓ ⩽ k , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Çàìå÷àíèå. Îöåíêó ìîæíî äîêàçàòü è ïî-äðóãîìó  íàïðèìåð, òàê. Ðàññìîòðèì ÷åòûðå âåðøèíû áîëüøîãî êóáà A, B , C , D, îáðàçóþùèå ïðàâèëüíûé òåòðàýäð. Îòìåòèì âåðøèíó åäèíè÷íîãî êóáèêà, åñëè ó âåêòîðà, ñîåäèíÿþùåãî å¼ ñ áëèæàéøåé ê íåé âåðøèíîé èç A, B , C è D, âñå êîîðäèíàòû íå÷¼òíû. Ïóñòü p  êîëè÷åñòâî îòìå÷åííûõ âåðøèí, à q  êîëè÷åñòâî åäèíè÷íûõ êóáèêîâ, íå èìåþùèõ îòìå÷åííîé âåðøèíû. Òîãäà êîëè÷åñòâî ÷¼ðíûõ êóáèêîâ íå ïðåâîñõîäèò 4p + q . Îñòàëîñü âûÿñíèòü, ÷òî 4p+q = k . Ýòî ìîæíî ñäåëàòü íåïîñðåäñòâåííî; íî âìåñòî ýòîãî ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ òîé æå ñõåìîé, ÷òî è â ðåøåíèè âûøå. Èìåííî, íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî åñëè ó åäèíè÷íîãî êóáèêà åñòü äâå îòìå÷åííûõ âåðøèíû, òî îí ñâåòëûé, à åñëè íåò îòìå÷åííûõ âåðøèí, òî îí ò¼ìíûé. Òîãäà ðàññóæäåíèå âûøå ñðàáîòàåò ñ íåñëîæíûìè èçìåíåíèÿìè. 11.5. Äàíî íàòóðàëüíîå ÷èñëî n. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà 1, 2, . . . , n âûïèñûâàþò íà äîñêå â ñòðî÷êó â íåêîòîðîì ïîðÿäêå. Ó êàæäûõ äâóõ ñòîÿùèõ ðÿäîì ÷èñåë âû÷èñëÿþò èõ ÍÎÄ (íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü) è çàïèñûâàþò ýòîò ÍÎÄ íà ëèñòêå. Êàêîå íàèáîëüøåå êîëè÷åñòâî ðàçëè÷íûõ ÷èñåë ìîæåò áûòü ñðåäè âñåõ n − 1 âûïèñàííûõ íà ëèñòêå ÷èñåë? Îòâåò. ⌊n/2⌋. Ðåøåíèå. Îöåíêà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî êàêîå-òî èç âûïèñàííûõ íà ëèñòêå ÷èñåë áîëüøå ⌊n/2⌋, ñêàæåì, ÍÎÄ(a, b) = d > > ⌊n/2⌋. Òîãäà íàèáîëüøåå èç ÷èñåë a, b íå ìåíüøå 2d, ÷òî áîëüøå n  ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò, êàæäûé èç íàïèñàííûõ ÍÎÄîâ 25

LI Âñåðîññèéñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâ

íå ïðåâîñõîäèò ⌊n/2⌋, ïîòîìó êîëè÷åñòâî ðàçëè÷íûõ ÍÎÄîâ íå ìîæåò ïðåâûøàòü ⌊n/2⌋. Ïðèìåð. Ðàçîáü¼ì âñå ÷èñëà îò 1 äî n íà öåïî÷êè âèäà a, 2a, 4a, 8a, . . . , 2k a, ãäå a  íå÷¼òíîå ÷èñëî, íå ïðåâîñõîäÿùåå n. Âûïèøåì â ñòðî÷êó öåïî÷êè îäíó çà äðóãîé. Òîãäà äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî d ⩽ ⌊n/2⌋ íàéä¼òñÿ öåïî÷êà, â êîòîðîé âñòðå÷àåòñÿ d, à ñëåäóþùåå çà d ÷èñëî áóäåò 2d. Âèäèì, ÷òî êàæäîå íàòóðàëüíîå d ⩽ ⌊n/2⌋ áóäåò âûïèñàíî íà ëèñòêå. 11.6. Ïî êðóãó âûïèñàíû 100 åäèíèö. Ïåòÿ è Âàñÿ èãðàþò â èãðó, êàæäûé äåëàåò ïî 1010 õîäîâ. Ïåòÿ êàæäûì ñâîèì õîäîì âûáèðàåò 9 ñòîÿùèõ ïîäðÿä ÷èñåë è óìåíüøàåò êàæäîå èç íèõ íà 2. Âàñÿ êàæäûì ñâîèì õîäîì âûáèðàåò 10 ñòîÿùèõ ïîäðÿä ÷èñåë è óâåëè÷èâàåò êàæäîå èç íèõ íà 1. Ðåáÿòà õîäÿò ïî î÷åðåäè, íà÷èíàåò Ïåòÿ. Äîêàæèòå, ÷òî Âàñÿ ñìîæåò äåéñòâîâàòü òàê, ÷òîáû ïîñëå êàæäîãî åãî õîäà ñðåäè 100 âûïèñàííûõ ÷èñåë áûëî íå ìåíåå ïÿòè ïîëîæèòåëüíûõ, êàê áû íè èãðàë Ïåòÿ. Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì çàïèñàííûå ïî êðóãó ÷èñëà a1 , a2 , . . . , a100 . Âàñÿ áóäåò ñëåäèòü ëèøü çà äåñÿòüþ ÷èñëàìè, êîòîðûå îí ðàçîáü¼ò íà ïàðû: (a9 , a18 ), (a27 , a36 ), . . . , (a90 , a99 ). Çà îäèí õîä Ïåòÿ ìîæåò óìåíüøèòü íå áîëåå ÷åì îäíî èç ýòèõ 10 ÷èñåë. Åñëè Ïåòÿ óìåíüøèë îäíî èç ÷èñåë ïàðû (ai , ai+9 ), Âàñÿ â îòâåò äîáàâèò 1 ê ÷èñëàì ai , ai+1 , . . . , ai+9 . Åñëè æå Ïåòÿ íå óìåíüøèë íè îäíî èç ýòèõ 10 ÷èñåë, Âàñÿ ñäåëàåò ëþáîé ðàçðåø¼ííûé õîä. Òàêèì îáðàçîì, ïîñëå ïàðû õîäîâ Ïåòè è Âàñè ñóììà ÷èñåë â êàæäîé èç ïÿòè Âàñèíûõ ïàð íå óìåíüøèòñÿ. Ïîñêîëüêó èçíà÷àëüíî ïÿòü ñóìì â ïàðàõ ïîëîæèòåëüíû, òî ïîñëå êàæäîãî Âàñèíîãî õîäà ñóììà â êàæäîé èç ýòèõ ïÿòè ïàð áóäåò ïîëîæèòåëüíîé, ïîýòîìó â êàæäîé èç ïàð áóäåò õîòÿ áû îäíî ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. Òàêèì îáðàçîì, ïîñëå ëþáîãî Âàñèíîãî õîäà áóäåò õîòÿ áû 5 ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë, ÷òî è òðåáîâàëîñü. 11.7. ×åòûð¼õóãîëüíèê ABCD, â êîòîðîì íåò ïàðàëëåëüíûõ ñòîðîí, âïèñàí â îêðóæíîñòü Ω.  òðåóãîëüíèêè DAB, ABC, BCD, CDA âïèñàíû îêðóæíîñòè ωa , ωb , ωc , ωd ñîîòâåòñòâåííî. Ïðîâåäåíû îáùèå âíåøíèå êàñàòåëüíûå ê îêðóæíîñòÿì ωa è ωb , ωb è ωc , ωc è ωd , ωd è ωa , íå ñîäåðæàùèå ñòîðîí ÷åòûð¼õóãîëüíèêà ABCD. ×åòûð¼õóãîëüíèê, ïîñëåäîâàòåëüíûå ñòîðîíû êîòîðîãî ëåæàò íà ÷åòûð¼õ ïðîâåä¼ííûõ 26

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï, 20242025 ó÷åáíûé ãîä

ïðÿìûõ (èìåííî â òàêîì ïîðÿäêå), âïèñàí â îêðóæíîñòü Γ. Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìûå, ñîåäèíÿþùèå öåíòðû îêðóæíîñòåé ωa è ωc , ωb è ωd , Ω è Γ, ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. Ðåøåíèå. Ïóñòü, íå óìàëÿÿ îáùíîñòè, ëó÷è AB è DC ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå P , ëó÷è AD è BC  â òî÷êå Q. Îáîçíà÷èì öåíòð îêðóæíîñòè ωa ÷åðåç Ia , òî÷êè Ib , Ic , Id îïðåäåëèì àíàëîãè÷íî. Îáîçíà÷èì ÷åòûð¼õóãîëüíèê, îáðàçîâàííûé ÷åòûðüìÿ êàñàòåëüíûìè ÷åðåç A′ B ′ C ′ D′ (ïðÿìàÿ A′ B ′  îáùàÿ âíåøíÿÿ êàñàòåëüíàÿ ê ωa è ωb , àíàëîãè÷íî ñ òðåìÿ äðóãèìè ñòîðîíàìè).

 ñèëó ëåììû î òðåçóáöå äëÿ òðåóãîëüíèêîâ ABD è ACD, òî÷êè A, D, Ia , Id ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè (ñ öåíòðîì â ñåðåäèíå äóãè AD îêðóæíîñòè Ω). Ïóñòü ïðÿìàÿ Ia Id ïåðåñåêàåò ñòîðîíû AB è CD â òî÷êàõ U è V , à òàêæå ïåðåñåêàåò ïðÿìóþ AD â òî÷êå Xad . Îáîçíà÷èì â ÷åòûð¼õóãîëüíèêå ABCD: ∠A = α, ∠D = δ . Òîãäà â ñèëó âïèñàííîñòè ÷åòûð¼õóãîëüíèêîâ ABCD è AIa Id D, âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà óãëîâ: ∠QCD = α, ∠U Ia A = ∠ADId = δ/2, ∠V Id D = ∠DAIa = α/2. Ñëåäîâàòåëüíî, ∠CQD = δ − α è ∠P U V = ∠P V U = (α + δ)/2.  27

LI Âñåðîññèéñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâ

÷àñòíîñòè, α < δ , ïîýòîìó òî÷êà Xad ëåæèò íà ëó÷å AD è ∠DXad Id = ∠ADV − ∠P V U = (δ − α)/2. Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî îçíà÷àåò, ÷òî ïðÿìàÿ Ia Id ïàðàëëåëüíà áèññåêòðèñå óãëà CQD. Ïîñêîëüêó ïðÿìàÿ A′ D′ ñèììåòðè÷íà ïðÿìîé AD îòíîñèòåëüíî ëèíèè öåíòðîâ Ia Id , ìû ïîëó÷àåì, ÷òî A′ D′ ∥ BC , à òàêæå ïðÿìàÿ A′ D′ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó Xad . Îïðåäåëèì àíàëîãè÷íî òî÷êè Xab , Xbc , Xcd è ïîëó÷èì, ÷òî ýòè òî÷êè ëåæàò íà ïðÿìûõ A′ B ′ , B ′ C ′ , C ′ D′ , êîòîðûå ïàðàëëåëüíû ñòîðîíàì ÷åòûð¼õóãîëüíèêà ABCD. Êàê ìû ïîíÿëè âûøå, ïðÿìàÿ Ia Id ïàðàëëåëüíà áèññåêòðèñå óãëà CQD. Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî, ìû ïîëó÷àåì, ÷òî ýòîé áèññåêòðèñå ïàðàëëåëüíà ïðÿìàÿ Ib Ic , à ïðÿìûå Ia Ib è Ic Id ïàðàëëåëüíû áèññåêòðèñå óãëà BP C . Ïîñêîëüêó ∠P U V = ∠P V U , òî áèññåêòðèñà óãëà BP C ïåðïåíäèêóëÿðíà ïðÿìîé Ia Id . Òàêèì îáðàçîì, ñîñåäíèå ñòîðîíû ÷åòûð¼õóãîëüíèêà Ia Ib Ic Id ïåðïåíäèêóëÿðíû, òî åñòü ýòî ïðÿìîóãîëüíèê. Çíà÷èò, îí âïèñàí â îêðóæíîñòü, îáîçíà÷èì å¼ ÷åðåç ω , öåíòð êîòîðîé  òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé. Òàêèì îáðàçîì, äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî öåíòðû îêðóæíîñòåé ω , Ω è Γ ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Ìû äîêàæåì, ÷òî ó ýòèõ òð¼õ îêðóæíîñòåé îáùàÿ ðàäèêàëüíàÿ îñü, ïðè÷¼ì íà íåé ëåæàò òî÷êè Xab , Xbc , Xcd , Xda (⋆). Îáîçíà÷èì ÷åðåç γ îïèñàííóþ îêðóæíîñòü ÷åòûð¼õóãîëüíèêà AIa Id D. Òîãäà òî÷êà Xad  ðàäèêàëüíûé öåíòð îêðóæíîñòåé γ , ω è Ω, ïîñêîëüêó îíà ëåæèò íà äâóõ èõ ðàäèêàëüíûõ îñÿõ. Çíà÷èò, ðàäèêàëüíàÿ îñü îêðóæíîñòåé ω è Ω ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó Xad , àíàëîãè÷íî, íà íåé ëåæàò è òî÷êè Xab , Xbc , Xcd .  ÷àñòíîñòè, ýòè 4 òî÷êè ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Ïóñòü ïðÿìàÿ B ′ C ′ ïåðåñåêàåò ñòîðîíó AB â òî÷êå S è ñòîðîíó CD â òî÷êå T . Ïîñêîëüêó B ′ C ′ ∥ AD, òî ∠BST = ∠BAD = = 180◦ −∠BCT , ïîýòîìó ÷åòûð¼õóãîëüíèê BCT S  âïèñàííûé. Ïîñêîëüêó C ′ D′ ∥ AB è A′ B ′ ∥ CD, òî ïî òåîðåìå Ôàëåñà Xbc B ′ X X X S = bc ab = bc ′ . Xbc T Xbc Xcd Xbc C Èç ýòîãî ðàâåíñòâà îòíîøåíèé è âïèñàííîñòè BCT S ìû ïîëó÷àåì, ÷òî Xbc B ′ · Xbc C ′ = Xbc S · Xbc T = Xbc B · Xbc C , òî åñòü ñòåïåíü òî÷êè Xbc îòíîñèòåëüíî îêðóæíîñòåé Ω è Γ îäèíàêîâà. 28

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï, 20242025 ó÷åáíûé ãîä

Ðàññóæäåíèå äëÿ òî÷åê Xab , Xad , Xcd àíàëîãè÷íî. Èòîãî äîêàçàíî óòâåðæäåíèå (⋆), ÷òî è òðåáîâàëîñü. 11.8. Ïóñòü f : R → R  íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ. Õîðäîé áóäåì íàçûâàòü îòðåçîê öåëîé äëèíû, ïàðàëëåëüíûé îñè àáñöèññ, êîíöû êîòîðîãî ëåæàò íà ãðàôèêå ôóíêöèè f . Èçâåñòíî, ÷òî ó ãðàôèêà ôóíêöèè f ðîâíî N õîðä, ïðè÷¼ì ñðåäè íèõ åñòü õîðäà äëèíû 2025. Íàéäèòå íàèìåíüøåå âîçìîæíîå çíà÷åíèå N . Îòâåò. 4049. Ðåøåíèå. Äëÿ íàòóðàëüíîãî n ïîëîæèì gn (x) = f (x + n) − −f (x). Òîãäà ÷èñëî õîðä äëèíû n ðàâíî êîëè÷åñòâó íóëåé ôóíêöèè gn (x).  êà÷åñòâå ïðèìåðà âûáåðåì ñëåäóþùóþ êóñî÷íî-ëèíåéíóþ 9 è f (x) = 20249 · |2025 − x| ôóíêöèþ f : f (x) = x ïðè x ⩽ 2024 10 h i 9 . Çàìåòèì, ÷òî ïðè a ∈ 1 ôóíêöèÿ ïðè x ⩾ 2024 10 / 0; 2025 10

f (x) ïðèíèìàåò çíà÷åíèå f (a) òîëüêî â òî÷êå a. Ñëåäîâàòåëüíî, h åñëè gin (x) = 0, òî îáå òî÷êè x è x + n ëåæàò â îòðåçêå 1 .  ÷àñòíîñòè, n ⩽ 2025, è íóëè ôóíêöèè g (x) ëå0, 2025 10 n h i h i 1 − n . Äëÿ n = 2025 ïðè x ∈ 0, 1 æàò â ïðîìåæóòêå 0; 2025 10 10

èìååì, ÷òî g2025 (x) = 20248x. Çíà÷èò, g2025 (x) èìååò åäèíñòâåííûé íóëü x = 0, òî åñòü õîðäà äëèíû 2025 ó ôóíêöèè f åäèíñòâåííà. Ïðè íàòóðàëüíîì n ⩽ 2024 ôóíêöèÿ gn (x) ìîíîòîííî óáûâàåò ïðè x ∈ [0, 2025 − n] è ìîíîòîííî âîçðàñòàåò ïðè h i 1 x ∈ 2025 − n, 2025 10 − n , ïðè ýòîì gn (0) > 0, gn (2025 − n) < 0   1 − n > 0. Òàêèì îáðàçîì, ó ýòîé ôóíêöèè ðîâíî è gn 2025 10 äâà íóëÿ, òî åñòü ôóíêöèÿ f èìååò ïî äâå õîðäû äëèíû n = 1, 2, . . . , 2024. Èòîãî ó íå¼ 4049 ðàçëè÷íûõ õîðä. Òåïåðü ïåðåéä¼ì ê îöåíêå. Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî õîðäà äëèíû 2025 ñîåäèíÿåò òî÷êè (0; 0) è (0; 2025), ò. å. f (0) = f (2025) = 0. Ïîëîæèì g(x) = g1 (x) = f (x + 1) − f (x). Èç óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî ó ôóíêöèè g êîíå÷íîå ÷èñëî íóëåé, à òàêæå ýòà ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà. Ïóñòü âñå å¼ íóëè ëåæàò â ïðîìåæóòêå [−M, M ]. Òîãäà ôóíêöèÿ g çíàêîïîñòîÿííà íà ëó÷àõ x > M è x < −M . Ïðè íåîáõîäèìîñòè, çàìåíèâ ôóíêöèþ f íà −f , ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî g(x) > 0 ïðè x > M . 29

LI Âñåðîññèéñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâ

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî g(x) < 0 ïðè x < −M . Çàìåòèì, ÷òî gn (x) = g(x) + g(x + 1) + . . . + g(x + n − 1), ïîýòîìó gn (x) > 0 ïðè x > M è gn (x) < 0 ïðè x < −M − n. Çíà÷èò, ôóíêöèÿ gn (x) èìååò íóëü, òî åñòü ó ôóíêöèè f åñòü õîðäà ëþáîé íàòóðàëüíîé äëèíû, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ çàäà÷è. Òàêèì îáðàçîì, g(x) > 0 ïðè x < −M . Çíà÷èò, gn (x) > 0 ïðè x > M è ïðè x < −M − n. Äàëåå ìû äîêàæåì, ÷òî ïðè íàòóðàëüíûõ k è m, â ñóììå äàþùèõ 2025, ôóíêöèÿ f èìååò õîòÿ áû 4 õîðäû äëèí k è m. Ïðèìåíÿÿ ýòî óòâåðæäåíèå äëÿ êàæäîé òàêîé ïàðû k, m, ìû ïîëó÷èì çàÿâëåííóþ îöåíêó. Èíûìè ñëîâàìè, ìû äîêàæåì, ÷òî ó ôóíêöèé gk (x) è gm (x) ïðè k + m = 2025 ñóììàðíî õîòÿ áû 4 íóëÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòî íå òàê. Òîãäà ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ôóíêöèÿ gk èìååò íå áîëåå îäíîãî íóëÿ. Çíà÷èò, ýòà ôóíêöèÿ íå ìîæåò ïðèíèìàòü îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü gk (t) < 0. Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ gk (x) íåïðåðûâíà è íåîòðèöàòåëüíà ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ïî ìîäóëþ çíà÷åíèÿõ x, òî ó íå¼ åñòü íóëü íà ëó÷å (−∞, t) è íà ëó÷å (t, ∞), òî åñòü õîòÿ áû äâà íóëÿ, ïðîòèâîðå÷èå. Èòîãî gk (x) ⩾ 0, ïðè÷¼ì ðàâåíñòâî íóëþ äîñòèãàåòñÿ íå áîëåå ÷åì â îäíîé òî÷êå. Ïîêàæåì, ÷òî gm (t) > 0 äëÿ íåêîòîðîãî t ∈ (0, k). Ðàññìîòðèì íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî N , äëÿ êîòîðîãî ÷èñëî N k äåëèòñÿ íà 2025, è îáîçíà÷èì ÷åðåç r1 , r2 , . . . , rN −1 îñòàòêè ÷èñåë k, 2k, . . . , (N − 1)k ïî ìîäóëþ 2025. Åñëè gk (0) > 0, ïîëîæèì r0 = rN = 0, åñëè æå gk (0) = 0, ïîëîæèì r0 = rN = 2025. Ðàññìîòðèì ðàçíîñòè dj = f (rj+1 ) − f (rj ), j = 0, 1, 2, . . . , N − 1. Çàìåòèì, ÷òî åñëè rj+1 > rj , òî rj+1 = rj + k è dj = gk (rj ) ⩾ 0; åñëè æå rj+1 < rj , òî rj = rj+1 + (2025 − k) = rj+1 + m è dj = −gm (rj+1 ). Åñëè r0 = 0, òî d0 = gk (0) > 0.  ñëó÷àå rN = 2025 ìû ïîëó÷àåì, ÷òî dN −1 = gk (2025 − k) > 0, ïîñêîëüêó gk (0) = 0, à 2025 − k ̸= 0. Òàêèì îáðàçîì, d0 + d1 + . . . + dN −1 = 0, è ïåðâîå èëè ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå â ýòîé ñóììå ïîëîæèòåëüíî. Çíà÷èò, íàéä¼òñÿ îòðèöàòåëüíîå ñëàãàåìîå dj < 0, ÷òî âîçìîæíî ëèøü â ñèòóàöèè rj = rj+1 + m è dj = −gm (rj+1 ). Òîãäà äëÿ t = rj+1 ∈ [0, k] ìû ïîëó÷àåì, ÷òî gm (t) = −dj > 0. Çàìåòèì, ÷òî gk (0) + gm (k) = gm (0) + gk (m) = f (2025) − −f (0) = 0. Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ gk íåîòðèöàòåëüíà, òî gm (0) ⩽ 0 30

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï, 20242025 ó÷åáíûé ãîä

è gm (k) ⩽ 0, â ÷àñòíîñòè, t ̸= 0 è t ̸= k , ïîýòîìó t ∈ (0, k).  ñëó÷àå, êîãäà gk (0) > 0 è gk (m) > 0, ìû ïîëó÷àåì, ÷òî gm (0) < 0, gm (t) > 0, gm (k) < 0, à òàêæå ôóíêöèÿ gm (x) ïîëîæèòåëüíà ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ïî ìîäóëþ x. Çíà÷èò, ôóíêöèÿ gm èìååò ïî íóëþ íà ïðîìåæóòêàõ (−∞, 0), (0, t), (t, k), (k, ∞), òî åñòü óæå ýòà ôóíêöèÿ èìååò õîòÿ áû 4 íóëÿ. Åñëè gk (0) = 0, òî gk (m) > 0, ïîñêîëüêó ó ôóíêöèè gk íå áîëåå îäíîãî íóëÿ. Òîãäà gm (k) = 0, gm (t) > 0, gm (0) < 0.  ýòîì ñëó÷àå ó ôóíêöèè gm åñòü ïî íóëþ íà ïðîìåæóòêàõ (−∞, 0) è (0, t), à òàêæå íóëü k , òî åñòü õîòÿ áû 3 íóëÿ, è åù¼ îäèí íóëü â òî÷êå 0 åñòü ó ôóíêöèè gk , ÷òî â ñóììå ñîñòàâëÿåò õîòÿ áû 4 íóëÿ. Ñëó÷àé gk (m) = 0 ðàçáèðàåòñÿ àíàëîãè÷íî.

31