Олимпиада по математике 11 класс — школьный этап ВсОШ 2025/2026: задания и ответы

11 класс Задача 1.1. Дана арифметическая прогрессия {𝑎𝑛 }, такая, что 𝑎1 + 𝑎2 = 9, 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎8 = 108. Найдите 𝑎1 и разность этой арифметической прогрессии.

Ответ: 3 и 3 Решение. Обозначим через 𝑑 разность арифметической прогрессии. Тогда верны равенства 𝑎1 + 𝑎2 = 𝑎1 + (𝑎1 + 𝑑) = 2𝑎1 + 𝑑 и 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎8 = 𝑎1 + (𝑎1 + 𝑑) + (𝑎1 + 2𝑑) + … + (𝑎1 + 7𝑑) = 8𝑎1 + 28𝑑. Таким образом, получаем систему

2𝑎1 + 𝑑 = 9; 8𝑎1 + 28𝑑 = 108.

Поделив второе уравнение на 4 получаем систему 2𝑎1 + 𝑑 = 9; { 2𝑎1 + 7𝑑 = 27. Вычитая из второго уравнения первое, получаем равенство 6𝑑 = 18, откуда 𝑑 = 3. Наконец, подставляя это в изначальную систему, получаем что 𝑎1 = 3.

Критерии Точное совпадение ответа – 7 баллов.

Задача 1.2. Дана арифметическая прогрессия {𝑎𝑛 }, такая, что 𝑎1 + 𝑎2 = 10, 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎8 = 88. Найдите 𝑎1 и разность этой арифметической прогрессии.

Ответ: 4 и 2

Задача 1.3. Дана арифметическая прогрессия {𝑎𝑛 }, такая, что 𝑎1 + 𝑎2 = 11, 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎8 = 164. Найдите 𝑎1 и разность этой арифметической прогрессии.

Ответ: 3 и 5 Задача 1.4. Дана арифметическая прогрессия {𝑎𝑛 }, такая, что 𝑎1 + 𝑎2 = 14, 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎8 = 104. Найдите 𝑎1 и разность этой арифметической прогрессии.

Ответ: 6 и 2 Задача 2.1. У Вити есть четыре карточки, на которых написаны числа 3, 5, 7, 8. Он случай𝑐𝑑

ным образом составляет из них число вида 𝑎𝑏 . С какой вероятностью это число делится на 3? Выражение 𝑎𝑏 обозначает двухзначное число, состоящее из цифр 𝑎 и 𝑏.

Ответ: 1/3 𝑐𝑑

Решение. Число 𝑎𝑏 делится на 3 тогда и только тогда, когда основание 𝑎𝑏 делится на 3. По признаку делимости на 3 число 𝑎𝑏 делится на 3 тогда и только тогда, когда 𝑎 + 𝑏 делится на 3. Всего есть 12 способов выбрать 𝑎 и 𝑏, все они равновероятны, и из них подходят 4: (1, 2), 4 1 (2, 1), (2, 4), (4, 2). Поэтому искомая вероятность равняется = . 12

Критерии Точное совпадение ответа – 7 баллов.

Задача 2.2. У Вити есть четыре карточки, на которых написаны числа 1, 2, 4, 7. Он случай𝑐𝑑

ным образом составляет из них число вида 𝑎𝑏 . С какой вероятностью это число делится на 3? Выражение 𝑎𝑏 обозначает двухзначное число, состоящее из цифр 𝑎 и 𝑏.

Ответ: 1/2

Задача 2.2. У Вити есть четыре карточки, на которых написаны числа 1, 2, 4, 5. Он случай𝑐𝑑

ным образом составляет из них число вида 𝑎𝑏 . С какой вероятностью это число делится на 3? Выражение 𝑎𝑏 обозначает двухзначное число, состоящее из цифр 𝑎 и 𝑏.

Ответ: 2/3 Задача 2.4. У Вити есть четыре карточки, на которых написаны числа 1, 3, 4, 6. Он случай𝑐𝑑

ным образом составляет из них число вида 𝑎𝑏 . С какой вероятностью это число делится на 3? Выражение 𝑎𝑏 обозначает двухзначное число, состоящее из цифр 𝑎 и 𝑏.

Ответ: 1/6 Задача 3.1. Во вписанном четырёхугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 отметили точку 𝐸 — пересечение лучей 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 и точку 𝐹 — пересечение лучей 𝐴𝐵 и 𝐷𝐶. Оказалось, что 𝐶𝐷 = 𝐷𝐸, ∠𝐴𝐸𝐵 = ⌢

51∘ и угловые меры дуг 𝐵𝐶 и 𝐴𝐷 находятся в соотношении 2 : 5. (а) (4 балла) Найдите угол 𝐴𝐹𝐷. Ответ выразите в градусах. ⌢

(б) (3 балла) Найдите величину меньшей дуги 𝐵𝐶. Ответ выразите в градусах.

Ответ: а) 27 б) 36 Решение. (а) Поскольку четырехугольник 𝐴𝐵 вписанный, то ∠𝐷𝐶𝐸 = ∠𝐸𝐴𝐵 = 51∘ . Поскольку 𝐶𝐷 = 𝐷𝐸, то и ∠𝐷𝐸𝐶 = 51∘ . Тогда ∠𝐴𝐷𝐹, как внешний в треугольнике 𝐶𝐷𝐸, равен ∠𝐷𝐶𝐸 + ∠𝐶𝐸𝐷 = 102∘ . И, наконец, ∠𝐴𝐹𝐷 = 180∘ − 51∘ − 102∘ = 27∘ . ⌢

(б) Поскольку угловые меры дуг 𝐵𝐶 и 𝐴𝐷 находятся в соотношении 2 : 5, обозначим их 2𝑥 и 5𝑥 соответственно. Как известно, ∠𝐴𝐹𝐷 = дуга 𝐵𝐶 равна 2𝑥, что равняется 36∘ .

5𝑥−2𝑥 2

3𝑥 2

= 27∘ , откуда 𝑥 = 18∘ . Тогда

Критерии Точное совпадение ответа в пункте а) – 4 балла. Точное совпадение ответа в пункте б) – 3 балла.

Задача 3.2. Во вписанном четырёхугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 отметили точку 𝐸 — пересечение лучей 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 — и точку 𝐹 — пересечение лучей 𝐴𝐵 и 𝐷𝐶. Оказалось, что 𝐶𝐷 = 𝐷𝐸, ⌢

∠𝐴𝐸𝐵 = 53∘ и угловые меры дуг 𝐵𝐶 и 𝐴𝐷 находятся в соотношении 1 : 4. (а) (4 балла) Найдите угол 𝐴𝐹𝐷. Ответ выразите в градусах. ⌢

(б) (3 балла) Найдите величину меньшей дуги 𝐵𝐶. Ответ выразите в градусах.

Рис. 1: К решению задачи 3.1

Ответ: а) 21 б) 14 Задача 3.3. Во вписанном четырёхугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 отметили точку 𝐸 — пересечение лучей 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 — и точку 𝐹 — пересечение лучей 𝐴𝐵 и 𝐷𝐶. Оказалось, что 𝐶𝐷 = 𝐷𝐸, ⌢

∠𝐴𝐸𝐵 = 48∘ и угловые меры дуг 𝐵𝐶 и 𝐴𝐷 находятся в соотношении 3 : 7. (а) (4 балла) Найдите угол 𝐴𝐹𝐷. Ответ выразите в градусах. ⌢

(б) (3 балла) Найдите величину меньшей дуги 𝐵𝐶. Ответ выразите в градусах.

Ответ: а) 36 б) 54 Задача 3.4. Во вписанном четырёхугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 отметили точку 𝐸 — пересечение лучей 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 — и точку 𝐹 — пересечение лучей 𝐴𝐵 и 𝐷𝐶. Оказалось, что 𝐶𝐷 = 𝐷𝐸, ⌢

∠𝐴𝐸𝐵 = 52∘ и угловые меры дуг 𝐵𝐶 и 𝐴𝐷 находятся в соотношении 1 : 4. (а) (4 балла) Найдите угол 𝐴𝐹𝐷. Ответ выразите в градусах. ⌢

(б) (3 балла) Найдите величину меньшей дуги 𝐵𝐶. Ответ выразите в градусах.

Ответ: а) 24 б) 16 Задача 4.1. Найдите количество пар различных натуральных чисел 𝑎, 𝑏, таких, что 1 ⩽ 𝑎 < 𝑏 ⩽ 100 и ⌊√𝑎⌋ + ⌈√𝑏⌉ = ⌈√𝑎⌉ + ⌊√𝑏⌋. Напомним, что ⌊𝑥⌋ обозначает наибольшее целое число, меньшее или равное 𝑥, а ⌈𝑥⌉ — наименьшее целое число, большее или равное 𝑥.

Ответ: 4050 Решение. Перепишем условие: ⌈√𝑏⌉ − ⌊√𝑏⌋ = ⌈√𝑎⌉ − ⌊√𝑎⌋. Заметим, что 0, ⌈√𝑎⌉ − ⌊√𝑎⌋ = { 1

если 𝑎 является точным квадратом, иначе.

Поэтому равенство из условия равносильно тому, что числа 𝑎 и 𝑏 либо одновременно являются, либо одновременно не являются точными квадратами. От 1 до 100 есть ровно 10⋅9 = 45 способами, а 10 точных квадратов, поэтому два точных квадрата можно выбрать 90⋅89

два не точных квадрата — 2 4050 подходящих пар (𝑎, 𝑏).

= 4005 способами. Следовательно, всего есть 45 + 4005 =

Критерии Точное совпадение ответа – 7 балла.

Задача 4.2. Найдите количество пар различных натуральных чисел 𝑎, 𝑏, таких, что 1 ⩽ 𝑎 < 𝑏 ⩽ 81 и ⌊√𝑎⌋ + ⌈√𝑏⌉ = ⌈√𝑎⌉ + ⌊√𝑏⌋. Напомним, что ⌊𝑥⌋ обозначает наибольшее целое число, меньшее или равное 𝑥, а ⌈𝑥⌉ — наименьшее целое число, большее или равное 𝑥.

Ответ: 2592 Задача 4.3. Найдите количество пар различных натуральных чисел 𝑎, 𝑏, таких, что 1 ⩽ 𝑎 < 𝑏 ⩽ 144 и ⌊√𝑎⌋ + ⌈√𝑏⌉ = ⌈√𝑎⌉ + ⌊√𝑏⌋. Напомним, что ⌊𝑥⌋ обозначает наибольшее целое число, меньшее или равное 𝑥, а ⌈𝑥⌉ — наименьшее целое число, большее или равное 𝑥.

Ответ: 8712 Задача 4.4. Найдите количество пар различных натуральных чисел 𝑎, 𝑏, таких, что 1 ⩽ 𝑎 < 𝑏 ⩽ 64 и ⌊√𝑎⌋ + ⌈√𝑏⌉ = ⌈√𝑎⌉ + ⌊√𝑏⌋. Напомним, что ⌊𝑥⌋ обозначает наибольшее целое число, меньшее или равное 𝑥, а ⌈𝑥⌉ — наименьшее целое число, большее или равное 𝑥.

Ответ: 1568 Задача 5.1. Дана колода из 300 карт, на каждой из которых записано натуральное число от 1 до 300 (каждое число встречается по одному разу). Петя раскладывает пасьянс. Для этого Петя выкладывает карты в прямоугольник 3 × 100 (3 строки, 100 столбцов) так, что числа на картах в каждом столбце возрастают сверху вниз, а также любое число в нижней строке больше любого числа в верхней строке. Удачностью пасьянса называется сумма всех чисел на карточках в верхней и нижней строках. Какой максимальной удачности пасьянс может выложить Петя?

Ответ: 35050 Решение. Пример. Расставим карточки следующим образом: 1 2 201

3 4 202

5 6 203

… … …

199 200 300

Тогда сумма чисел на карточках в верхней строке равна 1 + 3 + 5 + … + 199 =

100 ⋅ (1 + 199) = 10000, 2

а в нижней 201 + 202 + 203 + … + 300 =

100 ⋅ (201 + 300) = 25050. 2

Итого 10000 + 25050 = 35050.

Оценка. Заметим, что в нижнем ряду сумма карточек не больше, чем сумма 100 максимальных карточек, которая равна 201 + 202 + 203 + … + 300 = 25050. Теперь оценим сумму в верхнем ряду. Упорядочим карточек в верхнем ряду. Пусть 𝑎1 < 𝑎2 < … < 𝑎100 — числа записанные в верхнем ряду, а 𝑏1 , 𝑏2 , … , 𝑏100 — числа, записанные сразу под 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎100 соответственно. Из условия 𝑎100 меньше всех 100 карточек в нижнем ряду, а также меньше 𝑏100 . Следовательно, 𝑎100 ⩽ 199. Далее, 𝑎99 меньше всех 100 карточек в нижнем ряду, а также карточек 𝑎100 , 𝑏99 , 𝑏100 . Следовательно, 𝑎100 ⩽ 197. Аналогично, карточка 𝑎𝑖 меньше всех 100 карточек в нижнем ряду, а также карточек 𝑎𝑖+1 , … , 𝑎100 , 𝑏𝑖 , … , 𝑏100 , откуда 𝑎𝑖 ⩽ 2𝑖 − 1. Просуммировав полученные неравенства, получим, что сумма карточек в верхнем ряду не больше 1 + 3 + 5 + … + 199 = 10000, и общая сумма не больше 10000 + 25050 = 35050.

Критерии Точное совпадение ответа – 7 балла.

Задача 5.2. Дана колода из 600 карт, на каждой из которых записано натуральное число от 1 до 600 (каждое число встречается по одному разу). Петя раскладывает пасьянс. Для этого Петя выкладывает карты в прямоугольник 3 × 200 (3 строки, 200 столбцов) так, что числа на картах в каждом столбце возрастают сверху вниз, а также любое число в нижней строке больше любого числа в верхней строке. Удачностью пасьянса называется сумма всех чисел на карточках в верхней и нижней строках. Какой максимальной удачности пасьянс может выложить Петя?

Ответ: 140100 Задача 5.3. Дана колода из 900 карт, на каждой из которых записано натуральное число от 1 до 900 (каждое число встречается по одному разу). Петя раскладывает пасьянс. Для этого Петя выкладывает карты в прямоугольник 3 × 300 (3 строки, 300 столбцов) так, что числа на картах в каждом столбце возрастают сверху вниз, а также любое число в нижней строке больше любого числа в верхней строке. Удачностью пасьянса называется сумма всех чисел на карточках в верхней и нижней строках. Какой максимальной удачности пасьянс может выложить Петя?

Ответ: 315150 Задача 5.4. Дана колода из 1200 карт, на каждой из которых записано натуральное число от 1 до 1200 (каждое число встречается по одному разу). Петя раскладывает пасьянс. Для этого Петя выкладывает карты в прямоугольник 3 × 400 (3 строки, 400 столбцов) так, что числа на картах в каждом столбце возрастают сверху вниз, а также любое число в нижней строке больше любого числа в верхней строке. Удачностью пасьянса называется сумма всех чисел на карточках в верхней и нижней строках. Какой максимальной удачности пасьянс может выложить Петя?

Ответ: 560200 Задача 6.1. Толя задумал два квадратных трёхчлена. Оказалось, что первый трёхчлен имеет корни 1 и 2, а один из двух корней второго трёхчлена равен −5. Также известно, что графики трёхчленов пересекаются в двух точках: одна из них имеет координаты (3, 4), а вторая — лежит на оси ординат. (а) (2 балла) Найдите ординату второй точки пересечения графиков. (б) (5 баллов) Найдите произведение корней второго трёхчлена.

Ответ: а) 4 б) -40

Решение. Так как первый квадратный трёхчлен имеет корни 1 и 2, то вершина соответ3 ствующей параболы лежит на прямой 𝑥 = , и весь график трёхчлена симметричен отно3

сительно прямой 𝑥 = . Так как по условию точка (3, 4) лежит на параболе, то и симмет2 ричная ей точка (0, 4) тоже лежит на параболе. Полученная точка лежит на оси ординат и является искомой, её ордината равна 4. На графике второго трёхчлена лежат точки (3, 4) и (0, 4), поэтому он также симметричен 3 относительно прямой 𝑥 = . Так по условию точка (−5, 0) лежит на графике, то и симмет2 ричная ей точка (8, 0) тоже лежит на графике. Таким образом, −5 и 8 — корни второго трёхчлена, их произведение равно −40. Критерии Точное совпадение ответа в пункте а) – 2 балла. Точное совпадение ответа в пункте б) – 5 баллов.

Задача 6.2. Толя задумал два квадратных трёхчлена. Оказалось, что первый трёхчлен имеет корни 1 и 3, а один из двух корней второго трёхчлена равен −5. Также известно, что графики трёхчленов пересекаются в двух точках: одна из них имеет координаты (4, 6), а вторая — лежит на оси ординат. (а) (2 балла) Найдите ординату второй точки пересечения графиков. (б) (5 баллов) Найдите произведение корней второго трёхчлена.

Ответ: а) 6 б) -45 Задача 6.3. Толя задумал два квадратных трёхчлена. Оказалось, что первый трёхчлен имеет корни 2 и 4, а один из двух корней второго трёхчлена равен −3. Также известно, что графики трёхчленов пересекаются в двух точках: одна из них имеет координаты (6, 7), а вторая — лежит на оси ординат. (а) (2 балла) Найдите ординату второй точки пересечения графиков. (б) (5 баллов) Найдите произведение корней второго трёхчлена.

Ответ: а)7 б) -27 Задача 6.4. Толя задумал два квадратных трёхчлена. Оказалось, что первый трёхчлен имеет корни 1 и 4, а один из двух корней второго трёхчлена равен −4. Также известно, что графики трёхчленов пересекаются в двух точках: одна из них имеет координаты (5, 8), а вторая — лежит на оси ординат. (а) (2 балла) Найдите ординату второй точки пересечения графиков. (б) (5 баллов) Найдите произведение корней второго трёхчлена.

Ответ: а) 8 б) -36 Задача 7.1. В прямоугольном параллелепипеде 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1 𝐵1 𝐶1 𝐷1 площадь треугольника 𝐵𝐶𝐶1 равна 1, треугольника 𝐴𝐶𝐶1 — 34. (а) (2 балла) Пусть 𝑆 — площадь треугольника 𝐶𝐷𝐶1 . Найдите 𝑆 2 . (б) (5 баллов) Оказалось, что площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶1 равна 46. Чему равна площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶?

Ответ: а) 1155 б) 31 Решение. Пусть рёбра, параллельные 𝐴𝐵, равны 𝑎, рёбра, параллельные 𝐴𝐷, равны 𝑏, а рёбра, параллельные 𝐴𝐴1 равны 𝑐. Так как треугольник 𝐵𝐶𝐶1 прямоугольный, то его пло𝑏𝑐 щадь равна и равна 1, откуда следует что 𝑏2 𝑐2 = 4. Заметим, что треугольник 𝐴𝐶𝐶1 так2

1 1 же прямоугольный (∠𝐴𝐶𝐶1 = 90∘ ), так что его площадь равна 𝐴𝐶 ⋅ 𝐶𝐶1 = √𝑎2 + 𝑏2 𝑐 =

34, откуда (𝑎2 + 𝑏2 )𝑐2 = (2 ⋅ 34)2 = 4624.

(а) Треугольник 𝐶𝐷𝐶1 также прямоугольный, поэтому квадрат его площади равен 2 1 𝑎2 𝑐2 (𝑎2 + 𝑏2 )𝑐2 − 𝑏2 𝑐2 4624 − 4 4620 = = = = 1155. ( 𝑎𝑐) = 2 4 4 4 4 1

(б) Треугольник 𝐴𝐵𝐶1 также прямоугольный (∠𝐴𝐵𝐶1 = 90∘ ), откуда получаем, что 𝐴𝐵 ⋅ 2

𝐵𝐶1 = 𝑎√𝑏2 + 𝑐2 = 46, а значит (𝑏2 + 𝑐2 )𝑎2 = (2 ⋅ 46)2 = 8464. Отсюда получаем, что 2

𝑎2 𝑏2 = (𝑏2 + 𝑐2 )𝑎2 − 𝑎2 𝑐2 = 8464 − 4 ⋅ 1155 = 3844. Площадь прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 равна 1 𝑎2 𝑐2 3844 𝑎𝑐 = √ =√ = √961 = 31. 2 4 4

Критерии Точное совпадение ответа в пункте а) – 2 балла. Точное совпадение ответа в пункте б) – 5 баллов.

Задача 7.2. В прямоугольном параллелепипеде 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1 𝐵1 𝐶1 𝐷1 площадь треугольника 𝐵𝐶𝐶1 равна 2, треугольника 𝐴𝐶𝐶1 — 37. (а) (2 балла) Пусть 𝑆 — площадь треугольника 𝐶𝐷𝐶1 . Найдите 𝑆 2 . (б) (5 баллов) Оказалось, что площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶1 равна 43. Чему равна площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶?

Ответ: а) 1365 б) 22 Задача 7.3. В прямоугольном параллелепипеде 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1 𝐵1 𝐶1 𝐷1 площадь треугольника 𝐵𝐶𝐶1 равна 4, треугольника 𝐴𝐶𝐶1 — 17. (а) (2 балла) Пусть 𝑆 — площадь треугольника 𝐶𝐷𝐶1 . Найдите 𝑆 2 . (б) (5 баллов) Оказалось, что площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶1 равна 23. Чему равна площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶?

Ответ: а) 273 б) 16 Задача 7.4. В прямоугольном параллелепипеде 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1 𝐵1 𝐶1 𝐷1 площадь треугольника 𝐵𝐶𝐶1 равна 12, треугольника 𝐴𝐶𝐶1 — 24. (а) (2 балла) Пусть 𝑆 — площадь треугольника 𝐶𝐷𝐶1 . Найдите 𝑆 2 . (б) (5 баллов) Оказалось, что площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶1 равна 31. Чему равна площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶?

Ответ: а) 432 б) 23 Задача 8.1. Каждый день в 8:00 Петя выписывает на доску букву «a», «b» или «c». Затем каждую минуту он делает одно из следующих действий: • Приписывает сразу после буквы «a» букву «c»; • Приписывает сразу перед буквой «b» букву «c»; • Приписывает сразу после буквы «c» ещё одну букву «c»; • Стирает букву «c» и вписывает на том же месте комбинацию «ba». Через 9 минут, получив последовательность из 10 букв, Петя останавливается. Сколько различных последовательностей из 10 букв, в которых ровно 2 буквы «c», может получить Петя?

Ответ: 15. Решение. Заметим, что чётность суммарного числа букв «a» и «b» при действиях не меняется. А так как Петя ищет последовательности букв, в которых суммарно 8 букв «a» и «b», то и начинать нужно с последовательностей букв, в которых суммарно «a» и «b» чётно. Такая последовательность ровно одна — «c». Заменим каждую букву «c» на последовательность «ba». Заметим, что все получаемые слова будут иметь вид «baba…ba». Действительно, последнее действие не изменяет слово,

первая и третья — приписывает «ba» сразу после «a», а вторая — приписывает «ba» сразу перед «b». Следовательно, после замены в конце будет последовательность «baba …ba» из 12 букв. Из скольки изначальных слов могло получиться «baba…ba»? После замены есть 6 букв 6⋅5 «b», из которых 2 получились заменой «c» на «ba». Выбрать 2 буквы из 6 можно = 15 2 способами, поэтому таких слов 15. Проверим, что все 15 слов могут быть получены. Сначала проделаем 5 раз третье действие, и получим слово «cccccc». Затем выберем две буквы «c» и оставим их, а каждую из остальныех четырёх заменим на «ab». Получим 15 различных слов, удовлетворяющих условию.

Критерии Точное совпадение ответа – 7 баллов.

Задача 8.2. Каждый день в 8:00 Петя выписывает на доску букву «a», «b» или «c». Затем каждую минуту он делает одно из следующих действий: • Приписывает сразу после буквы «a» букву «c»; • Приписывает сразу перед буквой «b» букву «c»; • Приписывает сразу после буквы «c» ещё одну букву «c»; • Стирает букву «c» и вписывает на том же месте комбинацию «ba». Через 11 минут, получив последовательность из 12 букв, Петя останавливается. Сколько различных последовательностей из 12 букв, в которых ровно 2 буквы «c», может получить Петя?

Ответ: 21. Задача 8.3. Каждый день в 8:00 Петя выписывает на доску букву «a», «b» или «c». Затем каждую минуту он делает одно из следующих действий: • Приписывает сразу после буквы «a» букву «c»; • Приписывает сразу перед буквой «b» букву «c»; • Приписывает сразу после буквы «c» ещё одну букву «c»; • Стирает букву «c» и вписывает на том же месте комбинацию «ba». Через 13 минут, получив последовательность из 14 букв, Петя останавливается. Сколько различных последовательностей из 14 букв, в которых ровно 2 буквы «c», может получить Петя?

Ответ: 28.

Задача 8.4. Каждый день в 8:00 Петя выписывает на доску букву «a», «b» или «c». Затем каждую минуту он делает одно из следующих действий: • Приписывает сразу после буквы «a» букву «c»; • Приписывает сразу перед буквой «b» букву «c»; • Приписывает сразу после буквы «c» ещё одну букву «c»; • Стирает букву «c» и вписывает на том же месте комбинацию «ba». Через 15 минут, получив последовательность из 16 букв, Петя останавливается. Сколько различных последовательностей из 16 букв, в которых ровно 2 буквы «c», может получить Петя?

Ответ: 36.