Таблица производных

Таблица производных

Чтобы быстро дифференцировать функции, не выводя каждый раз предел, используют таблицу производных основных элементарных функций. Её знание наизусть — обязательное условие для решения задач на исследование функций и нахождение касательных.

Производные основных функций

Функция f(x)	Производная f'(x)
c (постоянная)	0
x	1
xⁿ	n·xⁿ⁻¹
√x	1 / (2√x)
1/x	−1 / x²
sin x	cos x
cos x	−sin x
tg x	1 / cos²x
eˣ	eˣ
aˣ	aˣ·ln a
ln x	1 / x
log_a x	1 / (x·ln a)

Правило сложной функции

Если функция «вложена» в другую, то есть имеет вид y = f(g(x)), применяют правило сложной функции (цепное правило): производную внешней функции умножают на производную внутренней.

y' = f'(g(x)) · g'(x)

Внутреннюю функцию называют «внутренностью», и про множитель g'(x) часто забывают — это главная ловушка темы.

Пошаговый пример

Найдём производную функции y = sin(3x² + 1).

1) Внешняя функция: sin(u), внутренняя: u = 3x² + 1. 2) Производная внешней: (sin u)' = cos u. 3) Производная внутренней: u' = 6x. 4) По цепному правилу: y' = cos(3x² + 1) · 6x. 5) Итог: y' = 6x·cos(3x² + 1).

Ещё пример со степенью

Для y = (2x − 5)⁴ внешняя функция — степень, внутренняя — линейное выражение:

y' = 4·(2x − 5)³ · 2 = 8·(2x − 5)³.

Множитель 2 — это производная внутренней функции; без него ответ оказался бы неверным, причём ошибка была бы грубой и сразу сбила бы все дальнейшие вычисления.

Как пользоваться таблицей

Сложные выражения почти всегда разбиваются на простые части, к каждой из которых применяют табличную формулу и одно из правил дифференцирования: производную суммы берут почленно, постоянный множитель выносят, произведение и частное считают по своим формулам. Удобно действовать так: сначала определить, какая это конструкция (сумма, произведение, частное, сложная функция), выбрать подходящее правило, и лишь затем подставить табличные производные отдельных кусочков. Такой порядок защищает от ошибок и путаницы.

Например, в выражении y = x³ + 5·cos x − ln x производную берут почленно: y' = 3x² − 5·sin x − 1/x. Каждое слагаемое продифференцировано по своей строке таблицы, а постоянный множитель 5 сохранён.

Частые ошибки. Пишут (cos x)' = sin x, забывая про минус. Для сложной функции теряют множитель g'(x). Путают производную aˣ (это aˣ·ln a) и xⁿ (это n·xⁿ⁻¹) — в первом случае переменная в показателе, во втором — в основании.

Кратко о главном

• Таблица производных позволяет дифференцировать быстро и без выводов.
• (sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x — следите за минусом.
• Степень: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹; показательная: (aˣ)' = aˣ·ln a.
• Сложная функция: производная внешней умножается на производную внутренней.