Определённый интеграл

Определённый интеграл

Определённый интеграл функции f(x) на отрезке [a; b] — это число, которое геометрически равно площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, осью Ox и вертикальными прямыми x = a и x = b. Записывают его так: ∫ от a до b f(x) dx. В отличие от неопределённого интеграла, результат здесь — конкретное число, а не семейство функций. Числа a и b называют нижним и верхним пределами интегрирования.

Формула Ньютона–Лейбница

Главный инструмент вычисления — формула Ньютона–Лейбница: ∫ от a до b f(x) dx = F(b) − F(a), где F(x) — любая первообразная функции f(x). То есть достаточно найти первообразную и подставить в неё сначала верхний предел, затем нижний, и вычесть. Постоянная C здесь не нужна: при вычитании она сокращается.

Основные свойства

Свойство	Формула
Постоянный множитель	∫ k·f dx = k · ∫ f dx
Сумма функций	∫ (f + g) dx = ∫ f dx + ∫ g dx
Перестановка пределов	∫ от a до b = − ∫ от b до a
Разбиение отрезка	∫ от a до b = ∫ от a до c + ∫ от c до b
Совпадение пределов	∫ от a до a f dx = 0

Если функция на отрезке отрицательна, интеграл получается отрицательным, поэтому площадь фигуры, расположенной под осью Ox, считают по модулю интеграла.

Разбор примера

Найдём площадь фигуры под параболой y = x² на отрезке [0; 2].

Шаг 1. Записываем интеграл площади: S = ∫ от 0 до 2 x² dx. Шаг 2. Находим первообразную по формуле степени: F(x) = x³/3. Шаг 3. Применяем формулу Ньютона–Лейбница, подставляя пределы: S = F(2) − F(0) = 2³/3 − 0³/3 = 8/3 − 0. Шаг 4. Ответ: S = 8/3 ≈ 2,67 квадратных единицы.

Порядок подстановки важен: сначала верхний предел, потом нижний — иначе знак получится неверным.

Площадь между двумя кривыми

Определённый интеграл умеет считать не только площадь под одним графиком, но и площадь фигуры, заключённой между двумя кривыми. Если на отрезке [a; b] график функции f(x) лежит выше графика g(x), то площадь между ними равна ∫ от a до b (f(x) − g(x)) dx. Сначала находят точки пересечения кривых — они задают пределы интегрирования, затем из «верхней» функции вычитают «нижнюю» и интегрируют разность. Этот приём — основной способ вычисления площадей сложных фигур в курсе одиннадцатого класса и на экзамене.

Частые ошибки: подставляют пределы в обратном порядке, F(a) − F(b), и получают неверный знак; забывают, что под осью интеграл отрицателен, и записывают отрицательную «площадь»; берут производную вместо первообразной. Площадь всегда величина положительная.

Кратко о главном

• Определённый интеграл — это число, равное площади криволинейной трапеции.
• Формула Ньютона–Лейбница: ∫ от a до b f dx = F(b) − F(a).
• Нужно найти первообразную и подставить пределы в правильном порядке.
• Перестановка пределов меняет знак интеграла.
• Площадь фигуры под осью берут по модулю интеграла.