Олимпиада по математике 10 класс — школьный этап ВсОШ 2024/2025: задания и ответы

Разбор заданий школьного этапа ВcОШ по математике для 10 класса, 2024–2025 учебный год 1. Боковые грани пирамиды — четыре равных равнобедренных треугольника. На этих гранях проведены отрезки, параллельные основанию, как показано на чертеже. Длины путей, отмеченные на чертежах красным, соответственно равны a, b и c. Выберите верное утверждение:

a) c > b = a, b) b = c > a, c) a = b = c, d) a < b < c. Ответ. d). Решение. Обозначим длину горизонтальных участков через x, y, z и t (см. рисунок).

Боковые стороны равнобедренных треугольников, отсекаемых соответственно основаниями x, y, z и t от боковой грани, идут в порядке возрастания. Тогда из подобия этих треугольников следует, что x < y < < z < t. Пути состоят из нескольких горизонтальных участков и нескольких участков вдоль боковых рёбер пирамиды. В сумме длины участков вдоль боковых рёбер для каждого из приведённых путей равны длине бокового ребра (обозначим её через L). Тогда a = L + x + y, b = L + 2y, c = L + y + z. Заметим, что • L + x + y < L + y + y = L + 2y, откуда a < b; • L + 2y = L + y + y < L + y + z, откуда b < c Значит, a < b < c. 2.

Действительные числа x и y таковы, что 9x = xy = 2x + 4y. y

Какое наибольшее значение может принимать x? Ответ. 12. Решение. Из равенства

9x = xy следует, что либо x = 0, либо 9 = y 2 , откуда y = −3 или y = 3. y

• Если y = −3, то равенство xy = 2x + 4y превращается в следующее: −3x = 2x − 12, откуда x = 12 . 5 • Если y = 3, то равенство xy = 2x + 4y превращается в следующее: 3x = 2x + 12, откуда x = 12. Таким образом, x = 0, 12 или 12, поэтому наибольшее значение x равно 12. 5

3. На чертеже четырёхугольник ABCD вписан в окружность ω. Прямая, проходящая через точку D, параллельно AB, пересекает ω в точке P . Известно, что ∠P DC = 12◦ , ∠DP B = 56◦ . Найдите величину угла ∠ABC. Ответ дайте в градусах.

Ответ. 112. Решение. Заметим, что ∠ABP = 180◦ − ∠DP B = 180◦ − 56◦ = 124◦ (внутренние односторонние углы при параллельных прямых AB и DP и секущей BP ).

Из равенства вписанных углов, опирающихся на дугу CP , получим ∠P BC = ∠P DC = 12◦ . Наконец, ∠ABC = ∠ABP − ∠P BC = 124◦ − 12◦ = 112◦ . 4. Натуральные числа a, b и c таковы, что НОД(a,b) = 2 и НОД(b,c) = 4. Чему может быть равен НОД(a,c)? Выберите все верные ответы: a) 12; b) 3; c) 6; d) 1; e) 2. Ответ. c), e). Решение. a) Если НОД(a,c) = 12, то и a, и c делятся на 4. По условию, НОД(b,c) = 4, т.е. и b, и c делятся на 4. Но тогда и a, и b делятся на 4, а значит и их НОД должен делится на 4, что не так. b) Так как НОД(a,b) = 2 и НОД(b,c) = 4, то каждое из чисел a, b, c должно делится на 2. Значит, НОД(a,c) тоже должен делится на 2, поэтому не может быть равен 3. с) Подойдут числа a = 6, b = 4, c = 12. d) Аналогично пункту b). e) Подойдут числа a = 2, b = 4, c = 4. 5. У Жоры есть коробка конфет, в которой конфеты расположены прямоугольником 4 × 5 (4 строчки, 5 столбцов). Жора берёт по одной конфете, каждый раз выбирая из строки, в которой осталось макси-

мальное количество конфет; если таких несколько — из любой из них. Сколькими способами Жора мог съесть первые 5 конфет; порядок поедания важен? Ответ. 240000. Решение. • Первую конфету Жора может съесть любую — т.е. у него 20 способов. • Для каждого из этих 20 способов вторую конфету Жора сможет съесть уже только 15 способами: в таблице останется 3 строки, в каждой из которых по 5 конфеты (и из этих 15 будет выбирать Жора), а также одна строка с 4 конфетами. То есть выбрать первые две конфеты у Жоры 15 {z . . . + 15} = 20 · 15 | + 15 + 20

способов. • Аналогично предыдущему: для каждого из этих 20 · 15 способов выбрать первые две конфеты у Жоры есть по 10 способов выбрать третью конфету. То есть выбрать первые три конфеты у него 20 · 15 · 10 способов. • Аналогично предыдущему: выбрать первые четыре конфеты у Жоры 20 · 15 · 10 · 5 способов. • Наконец, для каждого из 20 · 15 · 10 · 5 способов выбрать первые четыре конфеты у Жоры есть по 16 способов выбрать пятую конфету: за предыдущие четыре выбора Жора взял по одной конфете из каждой строки, т.е. сейчас в каждой строке осталось по 4 конфеты и Жора вновь может выбрать из всех конфет. Итого, ответ 20 · 15 · 10 · 5 · 16 = 240 000. 6. Прямая ℓ, пересекающая стороны AB и AC треугольника ABC, разбивает его на равносторонний треугольник и на четырёхугольник. Пусть X и Y — проекции точек B и C на прямую ℓ. Найдите длину отрезка XY , если AB = 20, AC = 21. 41 Ответ. 20,5 = 2 Решение. Обозначим точки пересечения ℓ с AB и AC соответственно как P и Q. Заметим, что ∠XP B = ∠AP Q = 60◦ (так как треугольник AP Q равносторонний по условию), поэтому треугольник P XB — прямоугольный с острыми углами 60◦ и 30◦ , а тогда XP = 12 BP . Аналогично QY = 12 CQ.

Тогда запишем равенство (при этом будем использовать, что P Q = AP = BP ): 1 1 BP + 2P Q + CQ XY = XP + P Q + QY = BP + P Q + CQ = = 2 2 2 (BP + AP ) + (AQ + CQ) AB + AC 20 + 21 = = = = 20,5. 2 2 2

7. В стране 3 мегаполиса и 7 городков. Авиакомпания планирует расписание полётов между ними. Руководитель хочет, чтобы выполнялись следующие условия: • от любого населённого пункта до любого другого можно добраться (прямым рейсом или с пересадками); • если из пункта A есть рейс в пункт B, то и из пункта B есть рейс в пункт A; • из двух мегаполисов можно улететь ровно в четыре населённых пункта, а из одного — в три; • из каждого городка можно улететь ровно в один населённый пункт. Сколько существует способов организовать такое расписание? Ответ. 1680. Решение. Для начала заметим, что из городка можно улететь только в мегаполисы: если из какого-то городка X единственный рейс ведёт в городок Y , то и из Y единственный рейс ведёт в X, т.е. из городков X и Y больше никуда не добраться. Заметим, что ни в один мегаполис не может прилетать 4 рейса: тогда из этих 5 населённых пунктов (мегаполиса и 4 городков) больше нельзя никуда улететь. Значит, в каждый мегаполис прилетают рейсы не более чем из трёх городков. Суммарно в мегаполисы должны прилететь 7 рейсов из городков. Существует только два способа, как можно представить число 7 в виде суммы трёх чисел, каждое из которых не превосходит 3: • 3 + 3 + 1. Назовём эти мегаполисы A1 , A2 и B соответственно. Мегаполис B дополнительно должен быть соединён ещё хотя бы с двумя другими мегаполисами, значит ровно с двумя он и соединён. После этого у мегаполисов A1 и A2 также будет по 4 рейса. Посчитаем теперь количество таких расписаний: 3 · C73 · C43 = 420 вариантов (тут 3 — это количество способов выбрать мегаполис B, после чего для мегаполиса A1 надо из 7 городков выбрать 3, в которые из него будет рейс, далее из 4 оставшихся — 3 для мегаполиса A2 ). • 3 + 2 + 2. Назовём мегаполис, соответствующий 3, A. Заметим, что из A должна быть какая-то возможность ещё куда-то добраться, т.е. должен быть ешё хотя бы один рейс в какой-то другой мегаполис. Назовём этот мегаполис B, а оставшийся — C. Сейчас мы уже знаем про 4 рейса из A, 3 рейса из B и 2 рейса из C. Из C должен выходить ещё хотя бы один рейс в какой-то мегаполис. Это может быть только B, ведь из A уже идёт 4 рейса. Сейчас все рейсы между мегаполисами определены. Посчитаем теперь количество таких расписаний: 3 · 2 · C73 · C42 = 1260 вариантов (здесь 3 — способы выбрать мегаполис A, 2 — мегаполис B, C73 — сколькими способами можно выбрать городки для A, C42 — после этого выбрать городки для B). Итого, всего способов 1260 + 420 = 1680.

8.

Числа a1 , a2 , . . . , a9 таковы, что a21 + a22 + . . . + a29 = 48. a 1 + a2 + . . . + a9

Какое наибольшее значение может принимать a1 ? Ответ. 96. Решение. Домножим обе части равенства на знаменатель дроби, перенесём всё в левую часть равенства и сгруппируем: (a21 − 48a1 ) + (a22 − 48a2 ) + . . . + (a29 − 48a9 ) = 0. Теперь прибавим к выражениям в скобках по 242 , а чтобы равенство сохранилось — к правой части прибавим 9 · 242 , получим: (a21 − 48a1 + 242 ) + (a22 − 48a2 + 242 ) + . . . + (a29 − 48a9 + 242 ) = 9 · 242 . Теперь каждую скобку запишем как квадрат разности: (a1 − 24)2 + (a2 − 24)2 + . . . + (a9 − 24)2 = 722 . Оценим первое слагаемое: (a1 − 24)2 = 722 − (a2 − 24)2 − . . . − (a9 − 24)2 ⩽ 722 , поэтому −72 ⩽ a1 − 24 ⩽ 72 и −48 ⩽ a1 ⩽ 96. Таким образом, a1 ⩽ 96. Значение a1 = 96 достигается при a2 = . . . = a9 = 24.