Олимпиада по математике 9 класс — школьный этап ВсОШ 2024/2025: задания и ответы

Разбор заданий школьного этапа ВcОШ по математике для 9 класса, 2024–2025 учебный год 1. В актовом зале расставили 25 рядов по 10 стульев в каждом из них. Стулья пронумерованы: сначала от 1 до 10 в первом ряду, потом от 11 до 20 во втором ряду и так далее. Зрителям выдали билеты на спектакль с указанием номера стула. В перерыве решили сделать 25 рядов по 13 стульев в каждом и пронумеровать: сначала от 1 до 13 в первом ряду, потом от 14 до 26 во втором и так далее; зрители сели по указанным в билете номерам. Сколько зрителей теперь оказались в том же ряду, что первоначально? Ответ. 22. Решение. Количество мест в ряду увеличилось на 3, поэтому в первом ряду останутся все 10 зрителей, которые там сидели. Во втором ряду останутся все, кроме трёх пересевших в первый ряд, — то есть 7 зрителей. Из третьего ряда вперёд пересядут 6 зрителей: во втором ряду, как мы уже знаем, остались 7 зрителей, поэтому для зрителей из следующих рядов осталось 13 − 7 = 6 мест, то есть останутся 10 − 6 = 4 зрителя. Из четвёртого ряда вперёд пересядет 9 зрителей (так как в третьем ряду остались 4 зрителя, остались 13 − 4 = 9 мест для зрителей из следующих рядов), останется 10 − 9 = 1 зритель. Заметим, что теперь в четвёртом ряду осталось 13 − 1 = 12 > 10 мест для зрителей из следующих рядов, поэтому в пятом и последующих рядах все зрители будут перемещаться хотя бы на один ряд вперёд. Значит, общее число зрителей, оставшихся в своём ряду, равно 10 + 7 + 4 + 1 = 22. 2. На стороне AC треугольника ABC отмечена точка E. Известно, что ∠EBC = 25◦, ∠BCA = 32◦, ∠BAC = 60◦. Точка D на плоскости такова, что AD ∥ BE. Какое наименьшее значение может принимать величина угла ∠DAB? Ответ выразите в градусах. Ответ. 63. Решение. Так как ∠ABC = 180◦ − (∠BAC + ∠BCA) = 180◦ − (60◦ + 32◦ ) = 88◦ , то

∠ABE = ∠ABC − ∠EBC = 88◦ − 25◦ = 63◦ .

Проведём прямую ℓ ∥ BE — на ней лежит точка D из условия. Если точка D в той же полуплоскости относительно прямой AC, что и точка B, то ∠DAB = ∠ABE = 63◦ (накрест лежащие при параллельных прямых AD и BE и секущей AB). Если точка D в другой полуплоскости относительно прямой AC, нежели точка B, то ∠DAB = 180◦ − ∠ABE = 117◦ (внутренние односторонние углы при прямых AD и BE и секущей AB). Из найденных двух значений (63◦ и 117◦ ) наименьшее значение равно 63◦ .

3. Жора задумал три натуральных числа a, b, c. Чему могут равняться a + b, b + c и c + a? a) 102, 201, 300 b) 201, 302, 403, c) 201, 303, 606, d) 302, 305, 507, e) 301, 403, 505. Ответ. b) и d) Решение. Пусть a + b = x, b + c = y и c + a = z (для определённости x ⩽ y ⩽ z). Сложим эти равенства: (a + b) + (b + c) + (c + a) = x + y + z, откуда x + y + z = 2(a + b + c) — чётное число (условие 1). Далее заметим, что a + b + c = 12 (x + y + z). Отсюда 1 1 a = a + b + c − (b + c) = (x + y + z) − y = (x − y + z). 2 2 Аналогично

1 1 b = (x + y − z) и c = (y + z − x). 2 2 1 Так как a натуральное, то 2 (x − y + z) > 0, откуда x + z > y. Аналогично x + y > z и y + z > x: т.е. заданные в условии задачи суммы должны соответствовать и такому условию — сумма любых двух из них больше третьей (условие 2). Теперь можем найти ответ: a) Не выполняется условие 1. b) Подходит тройка (151, 50, 252). c) Не выполняется условие 2: 201 + 303 < 606. d) Подходит тройка (252, 50, 255). e) Не выполняется условие 1. 4. В турнире по боксу принимают участие 27 человек. Правила турнира таковы, что матч обязательно заканчивается победой одного из участников (т.е. ничьих не бывает). Турнир на выбывание: проигравший в каком-то поединке участник выбывает и больше не принимает участие в соревнованиях. По окончании турнира выяснилось, что N участников провели на ринге не менее 4 матчей. При каком наибольшем N такое возможно? Ответ. 8. Решение. Для начала докажем, что больше 8 таких участников быть не могло. Для начала вспомним, что если участников 27, то в турнире на вылет будет ровно 26 матчей: каждый матч выбывает ровно один участник, в начале их 27, а остаться должен ровно 1. Это значит, что побед у различных участников также было 26. Если участник проводит на ринге не менее 4 матчей, то по крайней мере 3 из них он должен выиграть. Если бы таких участников было хотя бы 9, то всего побед было бы хотя бы 27, что неправда. Значит, участников, которые провели на ринге не менее 4 матчей, не более 8. Теперь докажем, что 8 таких участников в турнире быть могло. Для этого достаточно привести один пример такого турнира. Пронумеруем всех участников от 1 до 27 и • участник 1 обыгрывает участников 27, 26, 25 и проигрывает участнику 2; • участник 2 обыгрывает участников 24, 23 (и 1) и проигрывает участнику 3; • участник 3 обыгрывает участников 22, 21 (и 2) и проигрывает участнику 4; • ... • участник 7 обыгрывает участников 14, 13 (и 6) и проигрывает участнику 8; • участник 8 обыгрывает участников 12, 11, 10, 9 (и 7).

5. Саша и Юра задумали по числу от 1 до 10, после чего Саша заявил: «Неважно, какое число ты задумал, в произведении наших чисел нет цифры 6», на что Юра ответил: «Тогда сумма наших чисел равна 14». Саша и Юра не ошибаются. Какое число задумал Юра? Ответ. 9. Решение. Докажем, что Саша задумал 5. Это число подходит, так как при умножении числа 5 на любое число от 1 до 10 результат не содержит цифры 6. Осталось для каждого остального числа показать, какое число мог задумать Юра, чтобы в произведении чисел Саши и Юры была цифра 6. Если Саша задумал, 1 то Юра мог задумать 6 Тогда произведение 6

2 3 6

3 2 6

4 4 16

6 1 6

7 9 63

8 2 16

9 4 36

10 6 60

Таким образом, Саша задумал 5. Тогда Юра задумал 14 − 5 = 9. 6. Баба Яга готовит зелье. Рецепт подразумевает, что в зелье должны попасть: • не более 5 лягушек (возможно, 0); • чётное число волчьих зубов (возможно, 0); • кратное шести число драконьих чешуек (возможно, 0); • ровно 2025 ингредиентов. Сколькими способами Баба Яга может приготовить зелье? Порядок добавления ингредиентов неважен. Ответ. 1013. Решение. Заметим, что всего ингредиентов — нечётное количество, а волчьих зубов и драконьих чешуек должно быть чётное количество. Значит, лягушек должно быть нечётное количество. 1 Если лягушка одна, то на волчьи зубы и драконьи чешуйки приходится 2024 слота. Заметим, что выбрав количество драконьих чешуек (их может быть от 0 · 6 до 337 · 6 = 2022 — 338 вариантов), остаток точно удастся заполнить волчьими зубами. Значит, в этом случае всего 338 вариантов. 3 Если лягушек три, то аналогично предыдущему, здесь всего 338 вариантов. 5 Если лягушек пять, то аналогично предыдущему, здесь всего 337 вариантов. Итак, всего вариантов 338 + 338 + 337 = 1013. 7. Длины сторон AB и AD прямоугольника ABCD равны 20 и 23 соответственно. Пусть M — середина стороны CD и пусть X — такая точка на плоскости, что A — середина отрезка XM . Найдите площадь треугольника XBD. Ответ. 575. Решение. Будем пользоваться такими фактами. 1. Площадь треугольника, одна сторона которого совпадает со стороной прямоугольника, а ещё одна вершина лежит на противоположной стороне, равна половине площади прямоугольника. Если прямоугольник со сторонами a и b, то его площадь равна ab, а площадь «вписанного» треугольника равна 12 ab. 2. Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади. Действительно, середина стороны разбивает отрезок на две равные стороны в этих треугольниках, а опущенная на эти стороны высота одна и та же.

Пусть площадь ABCD равна S. Тогда 1 SXAB = SABM = S, 2 1 1 1 1 1 SXAD = SADM = AD · DM = AD · CD = AD · CD = S, 2 2 2 4 4 1 SBAD = S. 2 Отсюда

1 1 1 5 SXBD = SXAB + SXAD + SBAD = S + S + S = S. 2 4 2 4 5 Так как S = 20 · 23 = 460, то SXBD = 4 · 460 = 575. 8. Простое число p таково, что для любых целых чисел a и b числа 10a + 3b и a + 8b или оба делятся на p, или оба не делятся. Найдите, чему может быть равно p. Ответ. 7 или 11. Решение. Решение будет опираться на такое наблюдение: 10 · (a + 8b) − (10a + 3b) = 77b.

(∗)

Для начала докажем, что 7 и 11 подходят. Так как разность 10 · (a + 8b) и 10a + 3b делится на 7 (см. (∗)), то или эти оба числа делятся на 7, или оба не делятся. Так как 10 и 7 взаимно просты, то числа 10 · (a + 8b) и a + 8b или оба делятся на 7, или оба не делятся. Итак, 10a + 3b и a + 8b или оба делятся на 7, или оба не делятся. Теперь докажем, что ни одно другое p не подходит. Для этого надо предъявить какие-то числа a и b, что из чисел 10a + 3b и a + 8b одно делится на p, а другое — нет. Равенство (∗) показывает, что лучше взять b = 1. Тогда в качестве a подойдёт p − 8. Тогда 10a + 3b = 10p − 77 — не делится на p (т.к. p это не 7 и не 11), a + 8b = p — делится на p.