Олимпиада по математике 9 класс — школьный этап ВсОШ 2025/2026: задания и ответы
Официальный комплект школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике для 9 класса (2025/2026 учебный год). Задания и решения с критериями оценивания — скачайте PDF или прорешайте онлайн по тексту ниже.
Задания — текст для прорешивания
Текст извлечён из официального PDF автоматически: формулы, таблицы и рисунки могут отображаться неточно — сверяйтесь с документом выше.
9 класс Задача 1.1. Есть 70 литров смеси, в которой доли красной, зелёной и синей красок равняются 20 %, 35 % и 45 % соответственно. Сколько литров красной и зелёной краски нужно добавить, чтобы получилась смесь с 25 % красной, 40 % зелёной и 35 % синей красок? Синюю краску добавлять нельзя.
Задача 1.2. Есть 90 литров смеси, в которой доли красной, зелёной и синей красок равняются 25 %, 20 % и 55 % соответственно. Сколько литров красной и зелёной краски нужно добавить, чтобы получилась смесь с 30 % красной, 25 % зелёной и 45 % синей красок? Синюю краску добавлять нельзя.
Задача 1.3. Есть 90 литров смеси, в которой доли красной, зелёной и синей красок равняются 35 %, 25 % и 40 % соответственно. Сколько литров красной и зелёной краски нужно добавить, чтобы получилась смесь с 40 % красной, 30 % зелёной и 30 % синей красок? Синюю краску добавлять нельзя.
Задача 1.4. Есть 30 литров смеси, в которой доли красной, зелёной и синей красок равняются 35 %, 40 % и 25 % соответственно. Сколько литров красной и зелёной краски нужно добавить, чтобы получилась смесь с 40 % красной, 45 % зелёной и 15 % синей красок? Синюю краску добавлять нельзя.
Задача 2.1. В таблице 6×6 отметили несколько клеток. После этого слева от каждой строки написали, сколько свободных клеток от левой границы до первой отмеченной клетки в этой строке свободны. Аналогичные числа записали сверху, справа и снизу. После этого числа снизу, а также отметки в клетках стёрли. (а) (5 баллов) Восстановите числа, которые были записаны снизу. (б) (2 балла) Найдите количество отмеченных клеток. Задача 2.2. В таблице 6×6 отметили несколько клеток. После этого слева от каждой строки написали, сколько свободных клеток от левой границы до первой отмеченной клетки в этой строке свободны. Аналогичные числа записали сверху, справа и снизу. После этого числа снизу, а также отметки в клетках стёрли. (а) (5 баллов) Восстановите числа, которые были записаны снизу. (б) (2 балла) Найдите количество отмеченных клеток.
1 1
Рис. 1: К задаче 2.1
4 4
Рис. 2: К задаче 2.2 Задача 2.3. В таблице 6×6 отметили несколько клеток. После этого слева от каждой строки написали, сколько свободных клеток от левой границы до первой отмеченной клетки в этой строке свободны. Аналогичные числа записали сверху, справа и снизу. После этого числа снизу, а также отметки в клетках стёрли. (а) (5 баллов) Восстановите числа, которые были записаны снизу. (б) (2 балла) Найдите количество отмеченных клеток.
2 5
Рис. 3: К задаче 2.3 Задача 2.4. В таблице 6×6 отметили несколько клеток. После этого слева от каждой строки написали, сколько свободных клеток от левой границы до первой отмеченной клетки в этой строке свободны. Аналогичные числа записали сверху, справа и снизу. После этого числа снизу, а также отметки в клетках стёрли. (а) (5 баллов) Восстановите числа, которые были записаны снизу. (б) (2 балла) Найдите количество отмеченных клеток.
3 2
Рис. 4: К задаче 2.4
Задача 3.1. Два равносторонних треугольника с параллельными сторонами расположены так, как показано на рисунке. Оказалось, что расстояния между параллельными сторонами треугольников равны √3. Найдите разность периметров этих треугольников.
√3
√3
√3 Рис. 5: К задаче 3.1
Задача 3.2. Два равносторонних треугольника с параллельными сторонами расположены так, как показано на рисунке. Оказалось, что расстояния между параллельными сторонами треугольников равны
√3 3
. Найдите разность периметров этих треугольников.
√3
√3
√3 3
Рис. 6: К задаче 3.2
Задача 3.3. Два равносторонних треугольника с параллельными сторонами расположены так, как показано на рисунке. Оказалось, что расстояния между параллельными сторонами треугольников равны 3√3. Найдите разность периметров этих треугольников.
3√3
3√3
3√3 Рис. 7: К задаче 3.3
Задача 3.4. Два равносторонних треугольника с параллельными сторонами расположены так, как показано на рисунке. Оказалось, что расстояния между параллельными сторонами треугольников равны
√3 2
. Найдите разность периметров этих треугольников.
√3
√3
√3 2
Рис. 8: К задаче 3.4
Задача 4.1. Числа 3, 7, 10, 16, 23 и 31 разбили на три группы по два числа так, что выполняются следующие условия: • В первой группе оказались только простые числа. • Во второй группе сумма чисел делится на 3. • Сумма чисел в третьей группе больше половины от общей суммы. Какие числа в какой группе? Задача 4.2. Числа 2, 6, 11, 15, 23 и 31 разбили на три группы по два числа так, что выполняются следующие условия: • В первой группе оказались только простые числа. • Во второй группе сумма чисел делится на 3. • Сумма чисел в третьей группе больше половины от общей суммы. Какие числа в какой группе? Задача 4.3. Числа 3, 6, 11, 16, 23 и 31 разбили на три группы по два числа так, что выполняются следующие условия: • В первой группе оказались только простые числа. • Во второй группе сумма чисел делится на 3. • Сумма чисел в третьей группе больше половины от общей суммы. Какие числа в какой группе? Задача 4.4. Числа 3, 8, 11, 17, 22 и 31 разбили на три группы по два числа так, что выполняются следующие условия: • В первой группе оказались только простые числа. • Во второй группе сумма чисел делится на 3. • Сумма чисел в третьей группе больше половины от общей суммы. Какие числа в какой группе? Задача 5.1. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶 с прямым углом 𝐶. Окружность с центром в 𝐴, проходящая через 𝐶, пересекает гипотенузу в точке 𝐸, а окружность с центром в 𝐵, проходящая через 𝐶, пересекает гипотенузу в точке 𝐷. Найдите 𝐸𝐷, если 𝐴𝐷 = 16, 𝐵𝐸 = 50. Задача 5.2. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶 с прямым углом 𝐶. Окружность с центром в 𝐴, проходящая через 𝐶, пересекает гипотенузу в точке 𝐸, а окружность с центром в 𝐵, проходящая через 𝐶, пересекает гипотенузу в точке 𝐷. Найдите 𝐸𝐷, если 𝐴𝐷 = 12, 𝐵𝐸 = 54.
Задача 5.3. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶 с прямым углом 𝐶. Окружность с центром в 𝐴, проходящая через 𝐶, пересекает гипотенузу в точке 𝐸, а окружность с центром в 𝐵, проходящая через 𝐶, пересекает гипотенузу в точке 𝐷. Найдите 𝐸𝐷, если 𝐴𝐷 = 15, 𝐵𝐸 = 30. Задача 5.4. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶 с прямым углом 𝐶. Окружность с центром в 𝐴, проходящая через 𝐶, пересекает гипотенузу в точке 𝐸, а окружность с центром в 𝐵, проходящая через 𝐶, пересекает гипотенузу в точке 𝐷. Найдите 𝐸𝐷, если 𝐴𝐷 = 14, 𝐵𝐸 = 112. Задача 6.1. В квадрате 5 × 5 расставили натуральные числа от 1 до 25, каждое по одному разу, так, что суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и каждой из двух диагоналей совпали. Оказалось, что в центре стоит число 18. Чему может быть равна сумма чисел в отмеченных клетках?
18
Рис. 9: К задаче 6.1
Задача 6.2. В квадрате 5 × 5 расставили натуральные числа от 1 до 25, каждое по одному разу, так, что суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и каждой из двух диагоналей совпали. Оказалось, что в центре стоит число 17. Чему может быть равна сумма чисел в отмеченных клетках? Задача 6.3. В квадрате 5 × 5 расставили натуральные числа от 1 до 25, каждое по одному разу, так, что суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и каждой из двух диагоналей совпали. Оказалось, что в центре стоит число 8. Чему может быть равна сумма чисел в отмеченных клетках? Задача 6.4. В квадрате 5 × 5 расставили натуральные числа от 1 до 25, каждое по одному разу, так, что суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и каждой из двух диагоналей совпали.
17
Рис. 10: К задаче 6.2
Рис. 11: К задаче 6.3 Оказалось, что в центре стоит число 9. Чему может быть равна сумма чисел в отмеченных клетках?
Рис. 12: К задаче 6.4
Задача 7.1. Натуральные числа 𝑎, 𝑏 таковы, что число 𝑎
7𝑎+9𝑏 𝑎+3𝑏
— тоже натуральное. Чему
может быть равно отношение ? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ за𝑏 писывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Задача 7.2. Натуральные числа 𝑎, 𝑏 таковы, что число 𝑎
9𝑎+10𝑏 𝑎+2𝑏
— тоже натуральное. Чему
может быть равно отношение ? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ за𝑏 писывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Задача 7.3. Натуральные числа 𝑎, 𝑏 таковы, что число 𝑎
9𝑎+20𝑏 𝑎+4𝑏
— тоже натуральное. Чему
может быть равно отношение ? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ за𝑏 писывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Задача 7.4. Натуральные числа 𝑎, 𝑏 таковы, что число 𝑎
7𝑎+15𝑏 𝑎+5𝑏
— тоже натуральное. Чему
может быть равно отношение ? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ за𝑏 писывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Задача 8.1. На квалификационное соревнование, по результатам которого отбираются участники на областной чемпионат, подали заявки 80 команд. Отбор происходит по следующей схеме. У каждой команды есть некоторый счёт побед и поражений (изначально 0 − 0). В каждом матче принимают участие две команды с одинаковым текущим счётом, и одна из них побеждает, а другая проигрывает (ничьих не бывает). Если команда набирает 3 поражения, она выбывает из отбора. Если команда набирает 3 победы, она выходит в основную часть и тоже прекращает участие квалификационном соревновании. Турнир оканчивается, когда судьба каждой команды будет определена. (а) (1 балл) Сколько команд попадёт на областной чемпионат? (б) (6 баллов) Сколько будет сыграно матчей? Задача 8.2. На квалификационное соревнование, по результатам которого отбираются участники на областной чемпионат, подали заявки 112 команд. Отбор происходит по следующей схеме. У каждой команды есть некоторый счёт побед и поражений (изначально 0 − 0). В каждом матче принимают участие две команды с одинаковым текущим счётом, и одна из них побеждает, а другая проигрывает (ничьих не бывает). Если команда набирает 3 поражения, она выбывает из отбора. Если команда набирает 3 победы, она выходит в основную часть и тоже прекращает участие квалификационном соревновании. Турнир оканчивается, когда судьба каждой команды будет определена. (а) (1 балл) Сколько команд попадёт на областной чемпионат? (б) (6 баллов) Сколько будет сыграно матчей? Задача 8.3. На квалификационное соревнование, по результатам которого отбираются участники на областной чемпионат, подали заявки 96 команд. Отбор происходит по следующей схеме.
У каждой команды есть некоторый счёт побед и поражений (изначально 0 − 0). В каждом матче принимают участие две команды с одинаковым текущим счётом, и одна из них побеждает, а другая проигрывает (ничьих не бывает). Если команда набирает 3 поражения, она выбывает из отбора. Если команда набирает 3 победы, она выходит в основную часть и тоже прекращает участие квалификационном соревновании. Турнир оканчивается, когда судьба каждой команды будет определена. (а) (1 балл) Сколько команд попадёт на областной чемпионат? (б) (6 баллов) Сколько будет сыграно матчей? Задача 8.4. На квалификационное соревнование, по результатам которого отбираются участники на областной чемпионат, подали заявки 128 команд. Отбор происходит по следующей схеме. У каждой команды есть некоторый счёт побед и поражений (изначально 0 − 0). В каждом матче принимают участие две команды с одинаковым текущим счётом, и одна из них побеждает, а другая проигрывает (ничьих не бывает). Если команда набирает 3 поражения, она выбывает из отбора. Если команда набирает 3 победы, она выходит в основную часть и тоже прекращает участие квалификационном соревновании. Турнир оканчивается, когда судьба каждой команды будет определена. (а) (1 балл) Сколько команд попадёт на областной чемпионат? (б) (6 баллов) Сколько будет сыграно матчей?
Ответы и решения — показать
Официальные ответы и критерии оценивания жюри. Сначала решите задания самостоятельно.
9 класс Задача 1.1. Есть 70 литров смеси, в которой доли красной, зелёной и синей красок равняются 20 %, 35 % и 45 % соответственно. Сколько литров красной и зелёной краски нужно добавить, чтобы получилась смесь с 25 % красной, 40 % зелёной и 35 % синей красок? Синюю краску добавлять нельзя.
Ответ: Красной — 8,5 литров, а зелёной — 11,5 Решение. Поскольку синюю краску добавлять нельзя, её количество останется таким же. 70⋅0,45 Отсюда 70⋅0, 45 = 𝑥⋅0, 35, где 𝑥 — новое общее количество краски. Значит, 𝑥 = = 90. 0,35
Получаем, что красной краски будет 90 ⋅ 0, 25 = 22, 5 литров, а зелёной — 90 ⋅ 0, 4 = 36. Тогда красной краски надо добавить 22, 5 − 70 ⋅ 0, 2 = 22, 5 − 14 = 8, 5 литров, а зелёной краски надо добавить 36 − 70 ⋅ 0, 35 = 36 − 24, 5 = 11, 5 литров. Критерии Точное совпадение ответа – 7 баллов. Только одно из введенных чисел верное – 3 балла.
Задача 1.2. Есть 90 литров смеси, в которой доли красной, зелёной и синей красок равняются 25 %, 20 % и 55 % соответственно. Сколько литров красной и зелёной краски нужно добавить, чтобы получилась смесь с 30 % красной, 25 % зелёной и 45 % синей красок? Синюю краску добавлять нельзя.
Ответ: Красной 10,5, а зеленой 9,5 Задача 1.3. Есть 90 литров смеси, в которой доли красной, зелёной и синей красок равняются 35 %, 25 % и 40 % соответственно. Сколько литров красной и зелёной краски нужно добавить, чтобы получилась смесь с 40 % красной, 30 % зелёной и 30 % синей красок? Синюю краску добавлять нельзя.
Ответ: Красной 16,5, а зеленой 13,5 Задача 1.4. Есть 30 литров смеси, в которой доли красной, зелёной и синей красок равняются 35 %, 40 % и 25 % соответственно. Сколько литров красной и зелёной краски нужно добавить, чтобы получилась смесь с 40 % красной, 45 % зелёной и 15 % синей красок? Синюю краску добавлять нельзя.
Ответ: Красной 9,5, а зеленой 10,5 Задача 2.1. В таблице 6×6 отметили несколько клеток. После этого слева от каждой строки написали, сколько свободных клеток от левой границы до первой отмеченной клетки
в этой строке свободны. Аналогичные числа записали сверху, справа и снизу. После этого числа снизу, а также отметки в клетках стёрли. (а) (5 баллов) Восстановите числа, которые были записаны снизу. (б) (2 балла) Найдите количество отмеченных клеток.
1 1
Рис. 1: К задаче 2.1
Ответ: а) 4, 2, 0, 0, 2, 1 б) 10 Решение. Несложно понять, что во второй и пятой строках отмечено только по одной клетке в шестом и первом столбце соответственно. Кроме того, в первой строке отмечена только клетка во втором столбце, а в шестой строке отмечены клетки в третьем и четвёртом столбце. Осталось разобраться с третьей и четвёртой строками. В них есть отмеченные клетки во втором и пятом столбцах и нет отмеченных клеток в первом и шестом столбцах. Если теперь посмотреть на третий и четвёртый столбцы, то можно понять, что должна быть отмеченная клетка в четвёртой строке и третьем столбце, а остальные клетки центрального квадратика 2 × 2 должны быть свободными. Исходя из этого получаем такую картинку: То есть под нижней строчкой будут написаны 1, 2, 0, 0, 2, 4, а всего будет отмечено 10 клеток.
Критерии
1 1
Рис. 2: К решению задачи 2.1
Точное совпадение ответа в пункте а) – 5 баллов. За каждое неверное число в пункте а) снимается 2 балла. Точное совпадение ответа в пункте б) – 2 балла.
Задача 2.2. В таблице 6×6 отметили несколько клеток. После этого слева от каждой строки написали, сколько свободных клеток от левой границы до первой отмеченной клетки в этой строке свободны. Аналогичные числа записали сверху, справа и снизу. После этого числа снизу, а также отметки в клетках стёрли. (а) (5 баллов) Восстановите числа, которые были записаны снизу. (б) (2 балла) Найдите количество отмеченных клеток.
Ответ: а) 1, 2, 0, 0, 2, 4 б) 10 Задача 2.3. В таблице 6×6 отметили несколько клеток. После этого слева от каждой строки написали, сколько свободных клеток от левой границы до первой отмеченной клетки в этой строке свободны. Аналогичные числа записали сверху, справа и снизу. После этого числа снизу, а также отметки в клетках стёрли. (а) (5 баллов) Восстановите числа, которые были записаны снизу. (б) (2 балла) Найдите количество отмеченных клеток.
4 4
Рис. 3: К задаче 2.2
2 5
Рис. 4: К задаче 2.3
Ответ: а) 0, 4, 2, 2, 1, 3 б) 8 Задача 2.4. В таблице 6×6 отметили несколько клеток. После этого слева от каждой строки написали, сколько свободных клеток от левой границы до первой отмеченной клетки в этой строке свободны. Аналогичные числа записали сверху, справа и снизу. После этого
числа снизу, а также отметки в клетках стёрли. (а) (5 баллов) Восстановите числа, которые были записаны снизу. (б) (2 балла) Найдите количество отмеченных клеток.
3 2
Рис. 5: К задаче 2.4
Ответ: а) 3, 1, 2, 2, 4, 0 б) 8 Задача 3.1. Два равносторонних треугольника с параллельными сторонами расположены так, как показано на рисунке. Оказалось, что расстояния между параллельными сторонами треугольников равны √3. Найдите разность периметров этих треугольников.
Ответ: 18 Решение. Рассмотрим сторону 𝐴1 𝐵1 маленького треугольника и опустим перпендикуляры 𝐴1 𝑋 и 𝐵1 𝑌 на соответствующую сторону 𝐴𝐵 большого треугольника. Заметим, что тогда треугольник 𝐴𝐴1 𝑋 прямоугольный, причем ∠𝐴1 𝐴𝑋 = 30∘ . Отсюда следует, что 𝐴𝑋 = 3. Аналогично 𝐵𝑌 = 3. Заметим, что четырехугольник 𝐴1 𝐵1 𝑌 𝑋 является прямоугольником, поэтому 𝑋𝑌 = 𝐴1 𝐵1 , что означает, что стороны этих треугольников отличаются на 6, а значит периметры отличаются на 18.
Критерии Точное совпадение ответа – 7 баллов.
√3
√3
√3 Рис. 6: К задаче 3.1
𝐴1
𝐵1 √3
√3
Рис. 7: К решению задачи 3.1
Задача 3.2. Два равносторонних треугольника с параллельными сторонами расположены так, как показано на рисунке. Оказалось, что расстояния между параллельными сторонами треугольников равны
√3 3
. Найдите разность периметров этих треугольников.
Ответ: 6 Задача 3.3. Два равносторонних треугольника с параллельными сторонами расположены так, как показано на рисунке. Оказалось, что расстояния между параллельными сто-
√3
√3
√3 3
Рис. 8: К задаче 3.2 ронами треугольников равны 3√3. Найдите разность периметров этих треугольников.
3√3
3√3
3√3 Рис. 9: К задаче 3.3
Ответ: 54 Задача 3.4. Два равносторонних треугольника с параллельными сторонами расположены так, как показано на рисунке. Оказалось, что расстояния между параллельными сторонами треугольников равны
Ответ: 9
√3 2
. Найдите разность периметров этих треугольников.
√3
√3
√3 2
Рис. 10: К задаче 3.4 Задача 4.1. Числа 3, 7, 10, 16, 23 и 31 разбили на три группы по два числа так, что выполняются следующие условия: • В первой группе оказались только простые числа. • Во второй группе сумма чисел делится на 3. • Сумма чисел в третьей группе больше половины от общей суммы. Какие числа в какой группе?
Ответ: 1: 3, 7 2: 10, 23 3: 16, 31 Решение. Посчитаем сумму всех чисел. Она равна 3+7+10+16+23+31 = 90. Тогда сумма чисел в третьей группе должна быть больше 45. Значит, это либо 31 + 16, либо 31 + 23, т.е. 31 точно входит в третью группу. Заметим, что числа 7, 10 и 16 имеют остаток 1 при делении на 3, число 3 — остаток 0, а число 23 — остаток 2. Значит, во вторую группу должно войти число 23 с одним из чисел 7, 10, 16. Получаем, что тогда в третьей группе числа 16 и 31, в первой — 3 и 7, а во второй — 10 и 23.
Критерии Точное совпадение ответа – 7 баллов.
Задача 4.2. Числа 2, 6, 11, 15, 23 и 31 разбили на три группы по два числа так, что выполняются следующие условия: • В первой группе оказались только простые числа. • Во второй группе сумма чисел делится на 3. • Сумма чисел в третьей группе больше половины от общей суммы. Какие числа в какой группе?
Ответ: 1: 2, 11 2: 6, 15 3: 23, 31 Задача 4.3. Числа 3, 6, 11, 16, 23 и 31 разбили на три группы по два числа так, что выполняются следующие условия: • В первой группе оказались только простые числа. • Во второй группе сумма чисел делится на 3. • Сумма чисел в третьей группе больше половины от общей суммы. Какие числа в какой группе?
Ответ: 1: 11, 23 2: 3, 6 3: 16, 31 Задача 4.4. Числа 3, 8, 11, 17, 22 и 31 разбили на три группы по два числа так, что выполняются следующие условия: • В первой группе оказались только простые числа. • Во второй группе сумма чисел делится на 3. • Сумма чисел в третьей группе больше половины от общей суммы. Какие числа в какой группе?
Ответ: 1: 3, 11 2: 8, 22 3: 17, 31 Задача 5.1. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶 с прямым углом 𝐶. Окружность с центром в 𝐴, проходящая через 𝐶, пересекает гипотенузу в точке 𝐸, а окружность с центром в 𝐵, проходящая через 𝐶, пересекает гипотенузу в точке 𝐷. Найдите 𝐸𝐷, если 𝐴𝐷 = 16, 𝐵𝐸 = 50.
Ответ: 40
Решение. Обозначим 𝑥 = 𝐷𝐸. По неравенству треугольника 𝐴𝐶 +𝐵𝐶 > 𝐴𝐵, поэтому точка 𝐷 находится между 𝐴 и 𝐸, а не наоборот.
Рис. 11: К решению задачи 5.1 Тогда 𝐴𝐶 = 𝐴𝐸 = 16 + 𝑥, 𝐵𝐶 = 𝐵𝐷 = 50 + 𝑥, а 𝐴𝐵 = 16 + 𝑥 + 50 = 66 + 𝑥. Из теоремы Пифагора получаем уравнение (16 + 𝑥)2 + (50 + 𝑥)2 = (66 + 𝑥)2 Преобразовав, получим 256 + 32𝑥 + 𝑥2 + 2500 + 100𝑥 + 𝑥2 = 4356 + 132𝑥 + 𝑥2 , откуда 𝑥2 = 4356 − 256 − 2500 = 1600, т.е. 𝐷𝐸 = 𝑥 = 40. Критерии Точное совпадение ответа – 7 баллов.
Задача 5.2. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶 с прямым углом 𝐶. Окружность с центром в 𝐴, проходящая через 𝐶, пересекает гипотенузу в точке 𝐸, а окружность с центром в 𝐵, проходящая через 𝐶, пересекает гипотенузу в точке 𝐷. Найдите 𝐸𝐷, если 𝐴𝐷 = 12, 𝐵𝐸 = 54.
Ответ: 36 Задача 5.3. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶 с прямым углом 𝐶. Окружность с центром в 𝐴, проходящая через 𝐶, пересекает гипотенузу в точке 𝐸, а окружность с центром в 𝐵, проходящая через 𝐶, пересекает гипотенузу в точке 𝐷. Найдите 𝐸𝐷, если 𝐴𝐷 = 15, 𝐵𝐸 = 30.
Ответ: 30 Задача 5.4. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶 с прямым углом 𝐶. Окружность с центром в 𝐴, проходящая через 𝐶, пересекает гипотенузу в точке 𝐸, а окружность с центром в 𝐵, проходящая через 𝐶, пересекает гипотенузу в точке 𝐷. Найдите 𝐸𝐷, если 𝐴𝐷 = 14, 𝐵𝐸 = 112.
Ответ: 56 Задача 6.1.
В квадрате 5 × 5 расставили натуральные числа от 1 до 25, каждое по одному разу, так, что суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и каждой из двух диагоналей совпали. Оказалось, что в центре стоит число 18. Чему может быть равна сумма чисел в отмеченных клетках?
18
Рис. 12: К задаче 6.1
Ответ: 119. Решение. Сумма всех чисел в таблице равняется 1 + 2 + 3 + … + 25 =
25 ⋅ 26 = 325. 2
Так как суммы чисел во всех рядах равны, то эти суммы равняются 325/5 = 65. Обозначим через 𝐴 сумму всех чисел в неотмеченных клетках. Просуммируем центральную строку, центральный столбец и две диагонали. С одной стороны, полученная сумма равняется 65 ⋅ 4 = 260. С другой стороны, центральная клетка была подсчитана 4 раза, а остальные неотмеченные — по одному разу. Следовательно, 𝐴+3⋅18 = 260, откуда 𝐴 = 260−54 = 206. А сумма в отмеченных клетках равняется 325 − 206 = 119. Критерии Точное совпадение ответа – 7 баллов.
Задача 6.2. В квадрате 5 × 5 расставили натуральные числа от 1 до 25, каждое по одному разу, так, что суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и каждой из двух диагоналей совпали. Оказалось, что в центре стоит число 17. Чему может быть равна сумма чисел в отмеченных клетках?
Ответ: 116. Задача 6.3.
17
Рис. 13: К задаче 6.2 В квадрате 5 × 5 расставили натуральные числа от 1 до 25, каждое по одному разу, так, что суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и каждой из двух диагоналей совпали. Оказалось, что в центре стоит число 8. Чему может быть равна сумма чисел в отмеченных клетках?
Рис. 14: К задаче 6.3
Ответ: 89. Задача 6.4. В квадрате 5 × 5 расставили натуральные числа от 1 до 25, каждое по одному разу, так, что суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и каждой из двух диагоналей совпали. Оказалось, что в центре стоит число 9. Чему может быть равна сумма чисел в отмеченных клетках?
Ответ: 92. Задача 7.1. Натуральные числа 𝑎, 𝑏 таковы, что число 𝑎
7𝑎+9𝑏 𝑎+3𝑏
— тоже натуральное. Чему
может быть равно отношение ? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ за𝑏 писывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Рис. 15: К задаче 6.4
Ответ: 1; 3; 9 Решение. Заметим, что 3= Таким образом, 1. 2. 3.
7𝑎+9𝑏 𝑎+3𝑏 7𝑎+9𝑏 𝑎+3𝑏 7𝑎+9𝑏 𝑎+3𝑏
7𝑎+9𝑏 𝑎+3𝑏
7𝑎 + 9𝑏 7𝑎 + 21𝑏 3𝑎 + 9𝑏 < < = 7. 𝑎 + 3𝑏 𝑎 + 3𝑏 𝑎 + 3𝑏
— натуральное число, большее 3 и меньшее 7. Таких чисел ровно 3.
= 4, 7𝑎 + 9𝑏 = 4𝑎 + 12𝑏, 3𝑎 = 3𝑏, = 5, 7𝑎 + 9𝑏 = 5𝑎 + 15𝑏, 2𝑎 = 6𝑏, = 6, 7𝑎 + 9𝑏 = 6𝑎 + 18𝑏, 𝑎 = 9𝑏,
𝑎 𝑏
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
= 1. Достигается при 𝑎 = 𝑏 = 1. = 3. Достигается при 𝑎 = 3, 𝑏 = 1.
= 9. Достигается при 𝑎 = 9, 𝑏 = 1.
Критерии Точное совпадение ответа – 7 баллов.
Задача 7.2. Натуральные числа 𝑎, 𝑏 таковы, что число 𝑎
9𝑎+10𝑏 𝑎+2𝑏
— тоже натуральное. Чему
может быть равно отношение ? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ за𝑏 писывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 2/3; 2; 6 Задача 7.3. Натуральные числа 𝑎, 𝑏 таковы, что число 𝑎
9𝑎+20𝑏 𝑎+4𝑏
— тоже натуральное. Чему
может быть равно отношение ? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ за𝑏 писывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 4/3; 4; 12
Задача 7.4. Натуральные числа 𝑎, 𝑏 таковы, что число 𝑎
7𝑎+15𝑏 𝑎+5𝑏
— тоже натуральное. Чему
может быть равно отношение ? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ за𝑏 писывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 5/3; 5; 15 Задача 8.1. На квалификационное соревнование, по результатам которого отбираются участники на областной чемпионат, подали заявки 80 команд. Отбор происходит по следующей схеме. У каждой команды есть некоторый счёт побед и поражений (изначально 0 − 0). В каждом матче принимают участие две команды с одинаковым текущим счётом, и одна из них побеждает, а другая проигрывает (ничьих не бывает). Если команда набирает 3 поражения, она выбывает из отбора. Если команда набирает 3 победы, она выходит в основную часть и тоже прекращает участие квалификационном соревновании. Турнир оканчивается, когда судьба каждой команды будет определена. (а) (1 балл) Сколько команд попадёт на областной чемпионат? (б) (6 баллов) Сколько будет сыграно матчей?
Ответ: а) 40, б) 165 Решение. Поскольку в каждом матче принимают участие команды с одинаковым счётом, то у них и одинаковое количество сыгранных матчей. Значит, можно считать, что соревнование проходит в 5 раундов, причём в каждом раунде принимают участие все оставшиеся команды. Посчитаем, сколько будет команд с каким счётом после каждого раунда. После первого раунда у 40 команд будет счёт 1 − 0, у ещё 40 команд счёт 0 − 1. Сыграно 40 матчей. Во втором раунде половина из первых 40 команд выиграет, а половина проиграет. Значит, из них будет 20 команд со счётом 2 − 0 и 20 со счётом 1 − 1. Аналогично, среди вторых 40 команд будет 20 команд со счётом 1 − 1 и 20 команд со счётом 0 − 2. Всего будет сыграно по-прежнему 40 матчей. После третьего раунда будет 10 команд со счётом 3 − 0, ещё 10 + 20 = 30 команд со счётом 2 − 1, ещё 20 + 10 = 30 команд со счётом 1 − 2 и 10 команд со счётом 0 − 3. Сыграно ещё 40 матчей. Далее команды со счётом 3 − 0 и 0 − 3 уже не участвуют. После 4 раунда будет 15 команд со счётом 3 − 1, 15 + 15 = 30 команд со счётом 2 − 2 и 15 команд со счётом 1 − 3. Сыграно 30 матчей и команды со счётом 3 − 1 и 1 − 3 дальше не играют. Далее играют только 30 команд со счётом 2 − 2, из которых у 15 будет счёт 3 − 2, а у 15 счёт 2 − 3. Тут 15 матчей.
Получаем, что на областной чемпионат попадёт 10 + 15 + 15 = 40 команд. При этом всего будет сыграно 40 + 40 + 40 + 30 + 15 = 165 матчей.
Критерии Точное совпадение ответа в пункте а) – 1 балл. Точное совпадение ответа в пункте б) – 6 баллов.
Задача 8.2. На квалификационное соревнование, по результатам которого отбираются участники на областной чемпионат, подали заявки 112 команд. Отбор происходит по следующей схеме. У каждой команды есть некоторый счёт побед и поражений (изначально 0 − 0). В каждом матче принимают участие две команды с одинаковым текущим счётом, и одна из них побеждает, а другая проигрывает (ничьих не бывает). Если команда набирает 3 поражения, она выбывает из отбора. Если команда набирает 3 победы, она выходит в основную часть и тоже прекращает участие квалификационном соревновании. Турнир оканчивается, когда судьба каждой команды будет определена. (а) (1 балл) Сколько команд попадёт на областной чемпионат? (б) (6 баллов) Сколько будет сыграно матчей?
Ответ: а) 56, б) 231 Задача 8.3. На квалификационное соревнование, по результатам которого отбираются участники на областной чемпионат, подали заявки 96 команд. Отбор происходит по следующей схеме. У каждой команды есть некоторый счёт побед и поражений (изначально 0 − 0). В каждом матче принимают участие две команды с одинаковым текущим счётом, и одна из них побеждает, а другая проигрывает (ничьих не бывает). Если команда набирает 3 поражения, она выбывает из отбора. Если команда набирает 3 победы, она выходит в основную часть и тоже прекращает участие квалификационном соревновании. Турнир оканчивается, когда судьба каждой команды будет определена. (а) (1 балл) Сколько команд попадёт на областной чемпионат? (б) (6 баллов) Сколько будет сыграно матчей?
Ответ: а) 48, б) 198 Задача 8.4. На квалификационное соревнование, по результатам которого отбираются участники на областной чемпионат, подали заявки 128 команд. Отбор происходит по следующей схеме.
У каждой команды есть некоторый счёт побед и поражений (изначально 0 − 0). В каждом матче принимают участие две команды с одинаковым текущим счётом, и одна из них побеждает, а другая проигрывает (ничьих не бывает). Если команда набирает 3 поражения, она выбывает из отбора. Если команда набирает 3 победы, она выходит в основную часть и тоже прекращает участие квалификационном соревновании. Турнир оканчивается, когда судьба каждой команды будет определена. (а) (1 балл) Сколько команд попадёт на областной чемпионат? (б) (6 баллов) Сколько будет сыграно матчей?
Ответ: а) 64, б) 264
Видеоразборы заданий
Теория к заданиям: математика, 9 класс
АлгебраКвадратный трёхчлен
АлгебраЧисловые последовательности
АлгебраГеометрическая прогрессия
АлгебраСтепенная функция
АлгебраУравнения и неравенства с модулем
АлгебраТеоремы синусов и косинусов
ГеометрияПравильные многоугольники
ГеометрияДлина окружности и площадь круга
ГеометрияДвижения в геометрии
ГеометрияПреобразование подобия
ГеометрияВекторный метод
Геометрия