Олимпиада по математике 9 класс — заключительный этап ВсОШ 2024/2025: задания и ответы

Êðèòåðèè îöåíèâàíèÿ ðàáîò 9 êëàññà 1 çàäà÷à

Ðåøåíèå çàäà÷è òîëüêî äëÿ ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ ðàçðåçàíèÿ íà ïðÿìîóãîëüíèêè (íàïðèìåð, ïðÿìîóãîëüíàÿ ñåòêà èëè ðàçðåçàíèÿ, ïîëó÷åííûå öåïî÷êîé ¾äåëåíèé ïîïîëàì¿)  íå áîëåå . Ýòîò áàëë ìîæåò áûòü ïîñòàâëåí, åñëè â ðàáîòå ÿâíî íàïèñàíî ïðî îäèíàêîâóþ îðèåíòàöèþ âñåõ äèàãîíàëåé. ˆ Ðåøåíèå çàäà÷è ñòàíîâèòñÿ ïîëíûì, åñëè äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî çàìåíèòü ôðàçó âèäà ¾ñòîðîíû äâóõ òðåóãîëüíèêîâ ñîâïàäàþò¿ íà ôðàçó âèäà ¾ñòîðîíû äâóõ òðåóãîëüíèêîâ ïåðåêðûâàþòñÿ¿  . ˆ

1 áàëëà

òîëüêî

òîëüêî

4 áàëëà

2 çàäà÷à

Óòâåðæäåíèå, ÷òî îáùèé öåíòð äîëæåí ëåæàòü íà öåíòðàëüíîé ëèíèè îïèñàííûõ îêðóæíîñòåé òðåóãîëüíèêîâ ABE è CDE èëè î÷åâèäíî àíàëîãè÷íîå . ˆ Çàäà÷à ñâåäåíà ê óòâåðæäåíèþ, ÷òî öåíòð ω ëåæèò â ñåðåäèíå îòðåçêà, ñîåäèíÿþùåãî öåíòðû îïèñàííûõ îêðóæíîñòåé òðåóãîëüíèêîâ ABE è CDE èëè î÷åâèäíî àíàëîãè÷íîìó  . ˆ Äîêàçàíî òîëüêî, ÷òî öåíòð ω ëåæèò â ñåðåäèíå îòðåçêà, ñîåäèíÿþùåãî öåíòðû îïèñàííûõ îêðóæíîñòåé òðåóãîëüíèêîâ ABE è CDE èëè î÷åâèäíî àíàëîãè÷íîå  . ˆ

íå îöåíèâàëîñü

3 áàëëà

3 áàëëà

3 çàäà÷à

Òîëüêî ñëó÷àè n = 1 è n = 2 íå îöåíèâàëèñü. ˆ Ïðàâèëüíûé îòâåò áàëëîâ íå äîáàâëÿåò. ˆ Ðåøåíå çàäà÷è â ñëó÷àå n = 3 èëè n = 4  . ˆ Òîëüêî èäåÿ ðàññìàòðèâàòü ÷èñëà âèäà a2 − 1 ñ íàèáîëüøèì ïîäõîäÿùèì k  . Ñóììèðóåòñÿ ñ áàëëîì çà ñëó÷àé n = 3. ˆ Íå ðàçîáðàí ñëó÷àé n = 3  ñíèìàëîñü . ˆ Åñòü ñëó÷àé n = 3, äëÿ ñëó÷àÿ n ⩾ 4 äîêàçàíî, ÷òî åñëè 2k+1 ⩽ n < 2k+2 , òî a2 + 1 âçàèìíî ïðîñòî ñ äðóãèìè ñêîáêàìè, íî îòñþäà íå âûâåäåíà çàäà÷à  . ˆ Ñâåäåíèå çàäà÷è ê ñëó÷àþ, ÷òî ap−1 + ap−2 + · · · + a + 1  òî÷íûé êâàäðàò äëÿ íåêîòîðîãî ïðîñòîãî p (íàïðèìåð, ñ ïîìîùüþ ïîñòóëàòà Áåðòðàíà) . ˆ

1 áàëë

1 áàëë

2 áàëëà

5 áàëëîâ

íå îöåíèâàëîñü

4 çàäà÷à

ˆ ×àñòü 1: Ïðèìåð.

Òîëüêî âåðíûé ïðèìåð ñ 44 ïðèÿòíûìè õîäàìè  . Íåâåðíûå ïðèìåðû, à òàêæå ïðèìåðû ñ ìåíüøèì êîëè÷åñòâîì ïðèÿòíûõ õîäîâ, . ˆ Òîëüêî îöåíêà, ò. å. äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî áîëåå 44 ïðèÿòíûõ õîäîâ áûòü íå ìîãëî  . Áîëåå ñëàáûå îöåíêè íå îöåíèâàþòñÿ. Îäíàêî ìîãóò îöåíèâàòüñÿ ñëåäóþùèå ñîäåðæàùèåñÿ â íèõ èäåè. 1 áàëë

íå îöåíèâàëèñü

×àñòü 2: Îöåíêà. 4 áàëëà

ñàìè ïî ñåáå

ˆ ×àñòü 2.1: ×àñòè÷íûå ïðîäâèæåíèÿ â îöåíêå. Ýòè áàëëû íå ñóììèðóþòñÿ äðóã ñ äðóãîì, íî ê íèì ìîæåò ïðèáàâëÿòüñÿ áàëë çà ïðèìåð.

0) Ðàññòàíîâêà â êëåòêàõ ÷èñåë 1, . . . , 9 êàê â ðåøåíèè  . 1à) Èç êëåòîê ñ ÷èñëàìè 1 âûõîäèò 4 íåïðèÿòíûõ õîäà, à òàêæå â êëåòêè ñ ÷èñëîì 9 âõîäÿò 4 íåïðèÿòíûõ õîäà  . 1á) Èç êëåòîê ñ ÷èñëàìè 1 âûõîäèò 4 íåïðèÿòíûõ õîäà, è èç êëåòîê ñ ÷èñëîì 2 åù¼ 4  . ′ 1á )  êëåòêè ñ ÷èñëàìè 9 âõîäèò 4 íåïðèÿòíûõ õîäà, è â êëåòêè ñ ÷èñëîì 8 åù¼ 4  . 1â) Îáà ïðîäâèæåíèÿ 1á) è 1á′)  . 2à) Çàìå÷åíî, ÷òî ïðèÿòíûé õîä óìåíüøàåò ÷èñëî â êëåòêå õîòÿ áû íà 1, à íåïðèÿòíûé óâåëè÷èâàåò íå áîëåå ÷åì íà 3  . 0 áàëëîâ

0 áàëëîâ

1 áàëë

1 áàëë

2 áàëëà

0 áàëëîâ

2á) Èç ñîîáðàæåíèé 2à) âûâåäåíà îöåíêà k ⩽ 48  . 2â) Îöåíêà èç 2á) óòî÷íåíà äî k ⩽ 47  . 2ã) Îöåíêà èç 2á) óòî÷íåíà äî k ⩽ 46  . 3) Ðàññìîòðåíû 12 ó÷àñòêîâ îáõîäà ìåæäó êëåòêàìè, ïîìå÷åííûìè ÷èñëîì 6, è çàìå÷åíî, ÷òî íà êàæäîì åñòü õîòÿ áû îäèí íåïðèÿòíûé õîä  . 1 áàëë

1 áàëë

2 áàëëà

1 áàëë

ˆ ×àñòü 2.2: Ïðîáëåìû â ñóùåñòâåííî âåðíîì ðåøåíèè.

Åñëè âî â öåëîì âåðíîì ðåøåíèè äîïóùåíû îøèáêè/ïðîáåëû â â çàâèñèìîñòè îò âåëè÷èíû îøèáîê/ïðîáåëîâ.

íåáîëüøîì

ïåðåáîðå 

ñíèìàåòñÿ 1

èëè 2 áàëëà

5 çàäà÷à

Ïóñòü (x1, y1) è (x2, y2) ýòî êîîðäèíàòû âåðøèí ïàðàáîë A1 è A2 ñîîòâåòñòâåííî. ˆ Äîêàçàíî, ÷òî y1 > x2 è y2 > x1  . ˆ Äîêàçàíî, ÷òî P1 (y2 ) − y1 = P2 (y1 ) − y2  . (Íå ñóììèðóåòñÿ ñ ïðåäûäóùèì). ˆ Ïðàâèëüíûé îòâåò áàëëîâ íå äîáàâëÿåò. ˆ Äîêàçàíî, ÷òî (y1 − x2 )2 = (y2 − x1 )2 , íî íåïðàâèëüíî ðàçîáðàí ñëó÷àé, êîãäà y1 − x2 = −(y2 − x1 )  1 áàëë

2 áàëëà

5 áàëëîâ.

Âåðíîå ðåøåíèå ïðè íàëè÷èè àðèôìåòè÷åñêèõ îøèáîê 

6 áàëëîâ

6 çàäà÷à

Îöåíêà: äîêàçàíî, ÷òî íå ìîæåò ïîëó÷èòüñÿ áîëüøå 50 öåëûõ ÷èñåë  . ˆ Ïðèìåð: äîêàçàíî, ÷òî 50 öåëûõ ÷èñåë ìîæåò ïîëó÷èòüñÿ  . ˆ Åù¼ äà¼òñÿ, åñëè ïðèñóòñòâóþò è îöåíêà, è ïðèìåð (âîçìîæíî, ñ ïðîáëåìàìè, óêàçàííûìè íèæå). ˆ  äîêàçàòåëüñòâå îöåíêè èñïîëüçóåòñÿ íåâåðíîå óòâåðæäåíèå ïðî äðîáíûå ÷àñòè (íàïðèìåð, {a−b+c} = {a} − {b} + {c})  ñíèìàåòñÿ . ˆ Äîêàçàòåëüñòâî îöåíêè îñíîâûâàåòñÿ íà òîì, ÷òî â òå÷åíèå ïðîöåññà íå ìåíÿåòñÿ íåêîòîðîå ñâîéñòâî íàáîðà ÷èñåë â êðóãå (íàïðèìåð, ðàçíîñòè ñîñåäíèõ ÷èñåë ìåíüøå 1, äðîáíûå ÷àñòè âñåõ ÷èñåë ðàçëè÷íû è ò.ä.), è ïðè ýòîì íå ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî â èñõîäíîì êðóãå ýòî ñâîéñòâî âûïîëíåíî (íî ñàìà ïî ñåáå ïðîâåðêà î÷åâèäíà)  . ˆ Ïðèâåäåí âåðíûé ïðèìåð, íî îòñóòñòâóåò ïðîâåðêà òîãî, ÷òî ÷èñëà â ïðèìåðå ðàçëè÷íû è/èëè ëåæàò â èíòåðâàëå (0, 1), è ýòà ïðîâåðêà íåî÷åâèäíà  ñíèìàåòñÿ . ˆ  ïðèìåðå äîïóùåíà àðèôìåòè÷åñêàÿ îøèáêà, íî ïðèìåð ìîæíî ñäåëàòü âåðíûì, èñïðàâèâ íå áîëåå äâóõ ÷èñåë â í¼ì  ñíèìàåòñÿ . ˆ  ïðèìåðå åñòü ïàðà ðàâíûõ ÷èñåë, íî ïðèìåð ìîæíî ñäåëàòü âåðíûì, èñïðàâèâ íå áîëåå òð¼õ ÷èñåë â í¼ì  ñíèìàåòñÿ . ˆ Åñëè ðåøåíèå ñîäåðæèò íåñêîëüêî ïðîáëåì èç âûøåïåðå÷èñëåííûõ, ñíÿòûå áàëëû ñóììèðóþòñÿ. ˆ

3 áàëëà

3 áàëëà

1 áàëë

1 áàëë

áàëëû íå ñíèìàþòñÿ

1 áàëë

1 áàëë

2 áàëëà

7 çàäà÷à

Ïðèâåäåíà íåðàáîòàþùàÿ ñòðàòåãèÿ, âîçìîæíî, î÷åíü ïîõîæàÿ íà âåðíóþ: . Âñòðå÷àëèñü äâà ïðèìåðà òàêèõ íåðàáîòàþùèõ ñòðàòåãèé: 1) ñòðàòåãèÿ êàê â îôèöèàëüíîì ðåøåíèè, íî îòâåòíûì õîäîì â ïàðíûé ïðîìåæóòîê ñ íîìåðîì 30 + i â îòâåò íà çíàê ¾+¿ ñòàâèòñÿ çíàê ¾+¿, à â îòâåò íà çíàê ¾−¿ ñòàâèòñÿ çíàê ¾−¿; 2) ñòðàòåãèÿ êàê â îôèöèàëüíîì ðåøåíèè, íî ïàðíûé õîä ê õîäó â ïðîìåæóòîê ñ íîìåðîì i äåëàåòñÿ â ïðîìåæóòîê ñ íîìåðîì 60 − i. 0 áàëëîâ

Êîììåíòàðèé.

8 çàäà÷à

Äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî ñåðåäèíû 6 ÷åâèàí èç óñëîâèÿ ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â îðòîöåíòðå òðåóãîëüíèêà  . ˆ Áîëåå ïðîñòûå ïðîäâèæåíèÿ (íàïðèìåð, ñèììåòðèÿ ÷åâèàí îòíîñèòåëüíî âûñîò)  . ˆ Ðåøåíèå çàäà÷è â ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ (íàïðèìåð, äëÿ ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà) .

0 áàëëîâ

0 áàëëîâ

íå îöåíèâàëîñü

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï, 20242025 ó÷åáíûé ãîä

Óñëîâèÿ è ðåøåíèÿ çàäà÷ 9 êëàññ 9.1. Íà ïðÿìîóãîëüíîì ëèñòå áóìàãè ïðîâåëè íåñêîëüêî îòðåçêîâ, ïàðàëëåëüíûõ åãî ñòîðîíàì. Ýòè îòðåçêè ðàçáèëè ëèñò íà íåñêîëüêî ïðÿìîóãîëüíèêîâ, âíóòðè êîòîðûõ íåò ïðîâåä¼ííûõ ëèíèé. Ïåòÿ õî÷åò ïðîâåñòè â êàæäîì èç ïðÿìîóãîëüíèêîâ ðàçáèåíèÿ îäíó äèàãîíàëü, ðàçáèâ åãî íà äâà òðåóãîëüíèêà, è îêðàñèòü êàæäûé òðåóãîëüíèê ëèáî â ÷¼ðíûé, ëèáî â áåëûé öâåò. Âåðíî ëè, ÷òî îí îáÿçàòåëüíî ñìîæåò ýòî ñäåëàòü òàê, ÷òîáû íèêàêèå äâà îäíîöâåòíûõ òðåóãîëüíèêà íå èìåëè îáùåãî îòðåçêà ãðàíèöû? Îòâåò. Äà, âåðíî. Ðåøåíèå. Ïóñòü Ïåòÿ ïðîâåä¼ò â êàæäîì èç ïðÿìîóãîëüíèêîâ äèàãîíàëü èç ëåâîãî íèæíåãî óãëà â ïðàâûé âåðõíèé. Ïîñëå ýòîãî âñå òðåóãîëüíèêè, ïðèìûêàþùèå ê ëåâûì âåðõíèì óãëàì ïðÿìîóãîëüíèêîâ, îí ïîêðàñèò â ÷¼ðíûé öâåò, à îñòàëüíûå  â áåëûé. Äîêàæåì, ÷òî òàêàÿ ðàñêðàñêà ïîäîéä¼ò. Ðàññìîòðèì îáùèé îòðåçîê ãðàíèöû äâóõ òðåóãîëüíèêîâ. Åñëè ýòîò îòðåçîê äèàãîíàëüíûé, òî ñâåðõó ê íåìó ïðèìûêàåò ÷¼ðíûé òðåóãîëüíèê, à ñíèçó áåëûé. Åñëè îòðåçîê ãîðèçîíòàëüíûé, òî ê íåìó ñâåðõó ïðèìûêàåò áåëûé òðåóãîëüíèê, à ñíèçó  ÷¼ðíûé; ñëó÷àé âåðòèêàëüíîãî îòðåçêà àíàëîãè÷åí. Ïîýòîìó òàêàÿ ðàñêðàñêà ïîäõîäèò. 9.2. Äèàãîíàëè âûïóêëîãî ÷åòûð¼õóãîëüíèêà ABCD ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå E . Òî÷êè êàñàíèÿ îïèñàííûõ îêðóæíîñòåé òðåóãîëüíèêîâ ABE è CDE ñ èõ îáùèìè âíåøíèìè êàñàòåëüíûìè ëåæàò íà îêðóæíîñòè ω . Òî÷êè êàñàíèÿ îïèñàííûõ îêðóæíîñòåé òðåóãîëüíèêîâ ADE è BCE ñ èõ îáùèìè âíåøíèìè êàñàòåëüíûìè ëåæàò íà îêðóæíîñòè γ . Äîêàæèòå, ÷òî öåíòðû îêðóæíîñòåé ω è γ ñîâïàäàþò. Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì öåíòðû îïèñàííûõ îêðóæíîñòåé òðåóãîëüíèêîâ ABE , BCE , CDE , ADE ÷åðåç OAB , OBC , OCD , OAD ñîîòâåòñòâåííî. Ïóñòü T1 , T2  òî÷êè êàñàíèÿ îäíîé èç 3

LI Âñåðîññèéñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâ

îáùèõ êàñàòåëüíûõ ñ îïèñàííûìè îêðóæíîñòÿìè òðåóãîëüíèêîâ ABE è CDE ñîîòâåòñòâåííî; îáîçíà÷èì ÷åðåç O è T ñåðåäèíû îòðåçêîâ OAB OCD è T1 T2 ñîîòâåòñòâåííî (ñì. ðèñ. 1). Òîãäà â ïðÿìîóãîëüíîé òðàïåöèè OAB T1 T2 OCD ïðÿìàÿ OT  ñðåäíÿÿ ëèíèÿ, ïîýòîìó îíà ÿâëÿåòñÿ ñåðåäèííûì ïåðïåíäèêóëÿðîì ê îòðåçêó T1 T2 . Çàìåòèì, ÷òî îêðóæíîñòü ω ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé OAB OCD , íà êîòîðîé òàêæå ëåæèò òî÷êà O, çíà÷èò, O  öåíòð ω . B OBC O BC BC BC A C C O AB AB OAB AB AB T1 B B

O O E E D

OCD O CD CD CD CD

E E T

OAB O AB AB AB AB

T2

A A OAD

C Ðèñ. 1

OCD O CD CD CD CD

Ðèñ. 2

Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì, ÷òî ñåðåäèíà îòðåçêà OAD OBC ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì γ . Ïîýòîìó óòâåðæäåíèå çàäà÷è ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî OAB OBC OCD OAD  ïàðàëëåëîãðàìì. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî OAB OBC è OCD OAD  ñåðåäèííûå ïåðïåíäèêóëÿðû ê îòðåçêàì EB è ED, ïîýòîìó OAB OBC ∥ OCD OAD ; àíàëîãè÷íî, OAB OAD ∥ OBC OCD , îòêóäà è ñëåäóåò òðåáóåìîå. 9.3. Íàéäèòå âñå íàòóðàëüíûå n, äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóåò òàêîå ÷¼òíîå íàòóðàëüíîå a, ÷òî ÷èñëî (a − 1)(a2 − 1) . . . (an − 1) ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì êâàäðàòîì. Îòâåò. n = 1 è n = 2. 2 Ðåøåíèå. Äëÿ n = 1 ïîäîéä¼ò ëþáîå ÷¼òíîå a âèäà m + 1, íàïðèìåð, a = 2. Äëÿ n = 2 ïîäîéä¼ò ëþáîå ÷¼òíîå a âèäà m2 −1, íàïðèìåð, a = 8. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ n = 3 íàøëîñü òðåáóåìîå ÷èñëî a. Òîãäà ÷èñëî (a − 1)(a2 − 1)(a3 − 1) = (a − 1)3 (a + 1)(a2 + a + 1) 4

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï, 20242025 ó÷åáíûé ãîä

ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì êâàäðàòîì. Ïîñêîëüêó a2 + a + 1 = a(a + 1) + 1, ÷èñëà a + 1 è a2 + a + 1 âçàèìíî ïðîñòû. Ðàç ÷èñëî a + 1 íå÷¼òíî, ÷èñëà a + 1 è a − 1 òàêæå âçàèìíî ïðîñòû. Ñëåäîâàòåëüíî, ÷èñëà a + 1 è (a − 1)(a2 + a + 1)  òî÷íûå êâàäðàòû.  ÷àñòíîñòè, ÷èñëî a + 1 ïðè äåëåíèè íà 3 ìîæåò äàâàòü ëèøü îñòàòîê 0 èëè 1, à òîãäà ÷èñëî a − 1 íå äåëèòñÿ íà 3. Îòñþäà ÍÎÄ(a − 1, a2 + a + 1) = ÍÎÄ(a − 1, (a + 2)(a − 1) + 3) =

= ÍÎÄ(a − 1, 3) = 1, çíà÷èò, ÷èñëà a − 1 è a2 + a + 1 òàêæå ÿâëÿþòñÿ òî÷íûìè êâàä-

ðàòàìè. Íî âòîðîå ÿâëÿòüñÿ êâàäðàòîì íå ìîæåò, ïîñêîëüêó a2 < a2 + a + 1 < (a + 1)2 . Ïðîòèâîðå÷èå. Îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî òðåáóåìîãî a íå ñóùåñòâóåò ïðè n ⩾ 4. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òàêîå a íàøëîñü. Âîçüì¼ì òàêîå íàòók−1 k − ðàëüíîå k ⩾ 2, ÷òî 2k ⩽ n < 2k+1 . Ïîñêîëüêó a2 − 1 = (a2 k−1

+ 1), ÷èñëî (a − 1)(a2 − 1) . . . (an − 1) ïðåäñòàâëÿåòñÿ − 1)(a2 k−1 + 1 è íåñêîëüêèõ ìíîæèòåëåé âèäà â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ a2 am − 1, ãäå 1 ⩽ m ⩽ n è m ̸= 2k . k−1 + 1 âçàèìíî ïðîñò ñî âñåìè Äîêàæåì, ÷òî ìíîæèòåëü a2 k−1 +1 è îñòàëüíûìè ìíîæèòåëÿìè â ýòîì ðàçëîæåíèè. Ïóñòü a2 k m a − 1 èìåþò íåêîòîðûé îáùèé äåëèòåëü d. Òîãäà è ÍÎÄ(a2 − k k − 1, am − 1) êðàòåí d. Íî ÍÎÄ(a2 − 1, am − 1) = aÍÎÄ(2 ,m) − − 1. Ïîñêîëüêó m ̸= 2k è m ⩽ n < 2k+1 , ÷èñëî m íå ìîæåò äåëèòüñÿ íà 2k . Òàêèì îáðàçîì, ÍÎÄ(2k , m)  ñòåïåíü äâîéêè, k−1 íå ïðåâîñõîäÿùàÿ 2k−1 . Ñëåäîâàòåëüíî, a2 − 1 äåëèòñÿ íà k 2 m ÍÎÄ(a − 1, a − 1), à çíà÷èò, äåëèòñÿ è íà d. Ïîñêîëüêó a k−1 k−1 ÷¼òíî, ÷èñëà a2 − 1 è a2 + 1 íå èìåþò îáùèõ äåëèòåëåé, îòëè÷íûõ îò 1, çíà÷èò, d = 1, ÷òî è òðåáîâàëîñü. k−1 Ìíîæèòåëü a2 + 1 âçàèìíî ïðîñò ñî âñåìè îñòàëüíûìè ìíîæèòåëÿìè â ïðîèçâåäåíèè, ÿâëÿþùåìñÿ òî÷íûì êâàäðàòîì, k−1 ïîýòîìó îí ñàì ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì êâàäðàòîì. Òîãäà a2 +1 è k−1 2 a  îòëè÷àþùèåñÿ íà 1 êâàäðàòû íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ÷òî íåâîçìîæíî. Çíà÷èò, íàøå ïðåäïîëîæåíèå íåâåðíî, è äëÿ n ⩾ 4 òðåáóåìûõ ÷èñåë a íå íàéä¼òñÿ. 9.4. Øàõìàòíîãî êîðîëÿ ïîñòàâèëè íà êëåòêó äîñêè 8 × 8 è ñäåëàëè 5

LI Âñåðîññèéñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâ

èì 64 õîäà òàê, ÷òî îí ïîáûâàë íà âñåõ êëåòêàõ è âåðíóëñÿ â èñõîäíóþ êëåòêó.  êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè âû÷èñëÿëîñü ðàññòîÿíèå îò öåíòðà êëåòêè, â êîòîðîé íàõîäèëñÿ êîðîëü, äî öåíòðà âñåé äîñêè. Íàçîâ¼ì ñäåëàííûé õîä ïðèÿòíûì, åñëè â ðåçóëüòàòå õîäà ýòî ðàññòîÿíèå ñòàëî ìåíüøå, ÷åì áûëî äî õîäà. Íàéäèòå íàèáîëüøåå âîçìîæíîå êîëè÷åñòâî ïðèÿòíûõ õîäîâ. (Øàõìàòíûé êîðîëü çà îäèí õîä ïåðåäâèãàåòñÿ íà êëåòêó, ñîñåäíþþ ïî ñòîðîíå èëè ïî óãëó.) Îòâåò. 44 õîäà. Ðåøåíèå. Äîêàæåì, ÷òî ñðåäè õîäîâ äîëæíî áûëî áûòü õîòÿ áû 20 íåïðèÿòíûõ (à çíà÷èò, êîëè÷åñòâî ïðèÿòíûõ õîäîâ íå áîëüøå 44). Ðàññòàâèì â êëåòêàõ ÷èñëà, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 3; êëåòêè ñ îäèíàêîâûìè ÷èñëàìè óäàëåíû íà îäíî è òî æå ðàññòîÿíèå îò öåíòðà, à êëåòêè ñ ìåíüøèìè íîìåðàìè áëèæå ê öåíòðó, ÷åì êëåòêè ñ á
îëüøèìè. 9 8 7 6 6 7 8 9 8 6 5 4 4 5 6 8 7 5 3 2 2 3 5 7 6 4 2 1 1 2 4 6 6 4 2 1 1 2 4 6 7 5 3 2 2 3 5 7 8 6 5 4 4 5 6 8 9 8 7 6 6 7 8 9 Ðèñ. 3

Ðèñ. 4

Êàæäûé õîä èç êëåòêè ñ ÷èñëîì 1 íå óìåíüøàåò ðàññòîÿíèÿ äî öåíòðà è ïîòîìó íåïðèÿòåí  òàêèõ õîäîâ 4. Õîä èç êëåòêè ñ ÷èñëîì 2 ìîæåò áûòü ïðèÿòíûì, òîëüêî êîãäà îí èä¼ò â êëåòêó ñ ÷èñëîì 1. Íî íà äîñêå âîñåìü ÷èñåë 2 è òîëüêî ÷åòûðå ÷èñëà 1, ïîýòîìó õîòÿ áû ÷åòûðå õîäà èç êëåòîê ñ ÷èñëîì 2 áóäóò íåïðèÿòíûìè. Ðàññìîòðèì òåïåðü õîäû, âåäóùèå â 32 êëåòêè ñ ÷èñëàìè, íå ìåíüøèìè 6. Çàìåòèì, ÷òî ýòè õîäû íå ìîãóò èäòè èç êëåòîê ñ ÷èñëàìè 1 è 2, òî åñòü â ðàññóæäåíèè âûøå îíè íå ó÷òåíû. Òàêîé õîä ìîæåò áûòü ïðèÿòíûì, òîëüêî åñëè îí èä¼ò èç êëåòêè ñ íîìåðîì, íå ìåíüøèì 7; îäíàêî òàêèõ êëåòîê âñåãî 20. Çíà÷èò, ñðåäè ðàññìîòðåííûõ õîäîâ åù¼ 32 − 20 = 12 íåïðèÿòíûõ, è 6

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï, 20242025 ó÷åáíûé ãîä

îáùåå êîëè÷åñòâî íåïðèÿòíûõ õîäîâ íå ìåíüøå, ÷åì 4 + 4 + 12 = = 20. Ïðèìåð îáõîäà, â êîòîðîì 44 ïðèÿòíûõ õîäà, ïðèâåä¼í íà ðèñ. 4. Çàìå÷àíèå. Ïî ñóòè, â ïîñëåäíåé ÷àñòè äîêàçàòåëüñòâà îöåíêè ïîêàçàíî, ÷òî ñðåäè õîäîâ, âåäóùèõ â êëåòêè, îòìå÷åííûå çåë¼íûì íà ðèñ. 3, åñòü íå ìåíåå òð¼õ íåïðèÿòíûõ. Ýòî ìîæíî äîêàçàòü ðàçíûìè ñïîñîáàìè, íàïðèìåð, ïðîâåäÿ íåáîëüøîé ïåðåáîð. 9.5. Ïóñòü P1 (x) è P2 (x)  ïðèâåä¼ííûå êâàäðàòíûå òð¼õ÷ëåíû, à òî÷êè A1 è A2  ñîîòâåòñòâåííî âåðøèíû ïàðàáîë y = P1 (x) è y = P2 (x). ×åðåç m(g(x)) áóäåì îáîçíà÷àòü íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè g(x). Èçâåñòíî, ÷òî ðàçíîñòè m(P1 (P2 (x))) − − m(P1 (x)) è m(P2 (P1 (x))) − m(P2 (x)) îêàçàëèñü ðàâíûìè ïîëîæèòåëüíûìè ÷èñëàìè. Íàéäèòå óãîë ìåæäó ïðÿìîé A1 A2 è ïðÿìîé, ñîäåðæàùåé îñü Ox. ◦ Îòâåò. 45 . 2 Ðåøåíèå. Ïóñòü äàííûå òð¼õ÷ëåíû  P1 (x) = (x−x1 ) +y1 2 è P2 (x) = (x − x2 ) + y2 , ãäå A1 (x1 ; y1 ) è A2 (x2 ; y2 )  êîîðäèíàòû âåðøèí ïàðàáîë. Òîãäà m(P1 (x)) = y1 , à P1 (P2 (x)) = ((x − − x2 )2 + y2 − x1 )2 + y1 . Åñëè y2 ⩽ x1 , òî ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ ((x − x2 )2 + y2 − x1 )2 ðàâíÿåòñÿ íóëþ, îòêóäà m(P1 (P2 (x))) − m(P1 (x)) = y1 − y1 = 0. Ïîñëåäíåå ïðîòèâîðå÷èò òîìó, ÷òî m(P1 (P2 (x))) − m(P1 (x))  ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. Òàêèì îáðàçîì, y2 > x1 , îòêóäà m(P1 (P2 (x))) = (y2 − x1 )2 + y1 è m(P1 (P2 (x))) − m(P1 (x)) = (y2 − x1 )2 . Àíàëîãè÷íî, y1 > x2 è m(P2 (P1 (x)))−m(P2 (x)) = (y1 −x2 )2 . Òåïåðü óñëîâèå ðàâåíñòâà ðàçíîñòåé ïåðåïèñûâàåòñÿ â âèäå (y1 − − x2 )2 = (y2 − x1 )2 . Îòñþäà, ïîñêîëüêó y2 > x1 è y1 > x2 , ïîëó÷àåì y1 − x2 = y2 − x1 , òî åñòü y2 − y1 = −(x2 − x1 ). Çíà÷èò, èñêîìûé óãîë ðàâåí 45◦ . 9.6. Ïåòÿ âûáðàë 100 ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë, ìåíüøèõ 1, è ðàññòàâèë èõ ïî êðóãó. Çàòåì îí ïðîäåëûâàåò ñ íèìè îïåðàöèè. Çà îäíó îïåðàöèþ ìîæíî âçÿòü òðè ñòîÿùèõ ïîäðÿä (èìåííî â òàêîì ïîðÿäêå) ÷èñëà a, b, c è çàìåíèòü ÷èñëî b íà a − b + c. Ïðè êàêîì íàèáîëüøåì k Ïåòÿ ìîã âûáðàòü 7

LI Âñåðîññèéñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâ

èñõîäíûå ÷èñëà è ñäåëàòü íåñêîëüêî îïåðàöèé òàê, ÷òîáû ïîñëå íèõ ñðåäè ÷èñåë îêàçàëîñü k öåëûõ? Îòâåò. Ïðè k = 50. Ðåøåíèå. Îöåíêà. Ïîêàæåì, ÷òî öåëûõ ÷èñåë íèêîãäà íå ñòàíåò áîëüøå 50. Áóäåì ñëåäèòü çà ðàçíîñòÿìè ìåæäó ÷èñëîì è ñëåäóþùèì çà íèì ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå. Åñëè ïîäðÿä ñòîÿëè ÷èñëà a, b è c, òî èõ ðàçíîñòè áûëè ðàâíû a − b è b − c. Ïîñëå ïðèìåíåíèÿ îïåðàöèè ê ÷èñëó b ïîëó÷àòñÿ ÷èñëà a, a − b + c è c, ðàçíîñòè êîòîðûõ ðàâíû a − (a − b + c) = b − c è (a − b + c) − c = a − b. Èòàê, â ðåçóëüòàòå îïåðàöèè äâå ñîñåäíèå ðàçíîñòè ïðîñòî ïåðåñòàâëÿþòñÿ ìåñòàìè. Èçíà÷àëüíî âñå ðàçíîñòè áûëè íåöåëûìè, ïîýòîìó îíè â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè áóäóò íåöåëûìè. Òàêèì îáðàçîì, äâà öåëûõ ÷èñëà íèêîãäà íå ìîãóò ïîÿâèòüñÿ ðÿäîì è, çíà÷èò, èõ áóäåò íå áîëüøå 50. Ïðèìåð. Äëÿ íà÷àëà ðàññòàâèì ïî êðóãó ïîïåðåìåííî ÷èñëà 0,1 è 0,2. Åñëè ñ êàæäûì ÷èñëîì 0,2 ïðîäåëàòü îïåðàöèþ, òî îíî áóäåò çàìåíåíî íà 0,1 − 0,2 + 0,1 = 0, è ÷èñëà ÷åðåç îäíî áóäóò öåëûìè. Îñòàëîñü ïîäïðàâèòü ïðèìåð òàê, ÷òîáû âñå ÷èñëà ñòàëè ðàçëè÷íûìè. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïðèáàâèòü ê êàæäîìó ÷èñëó 0,1 ïî ñâîåìó ìàëåíüêîìó ÷èñëó, à ê êàæäîìó ÷èñëó 0,2  ñóììó ÷èñåë, ïðèáàâëåííûõ ê åãî ñîñåäÿì. Íàïðèìåð, âûáðàâ t = 0,001, ìîæíî ïðèáàâèòü ê ïîñëåäîâàòåëüíûì ÷èñëàì 0,1 ÷èñëà 0, t, 2t, . . . , 47t, 48t, 50t; òîãäà ê ÷èñëàì 0,2 áóäóò ïðèáàâëÿòüñÿ ÷èñëà t, 3t, 5t, . . . , 95t, 98t, 50t.  ðåçóëüòàòå âñå ÷èñëà ñòàíóò ðàçëè÷íûìè. ßâíî ïîñòðîåííûé ïðèìåð âûãëÿäèò òàê: 0,1 0,2001 0,1001 0,2003 0,1002 0,2005 0,1003 . . .

. . . 0,1047 0,2095 0,1048 0,2098 0,105 0,205 9.7.  ñòðîêó âûïèñàíû ÷èñëà 1, 2, 3, . . ., 60 (ðîâíî â òàêîì ïîðÿäêå). Èãîðü è Ðóñëàí ïî î÷åðåäè ñòàâÿò çíàêè +, − è × ìåæäó íèìè, íà÷èíàåò Èãîðü; çà õîä êàæäûé ñòàâèò îäèí çíàê. Êîãäà ìåæäó êàæäûìè äâóìÿ ñîñåäíèìè ÷èñëàìè ïîñòàâëåí çíàê, âû÷èñëÿåòñÿ çíà÷åíèå ïîëó÷åííîãî âûðàæåíèÿ. Åñëè îíî äåëèòñÿ íà 3, 8

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï, 20242025 ó÷åáíûé ãîä

òî ïîáåäà ïðèñóæäàåòñÿ Èãîðþ, èíà÷å Ðóñëàíó. Êòî èç èãðîêîâ ìîæåò âûèãðàòü, íåçàâèñèìî îò äåéñòâèé ñîïåðíèêà? Îòâåò. Èãîðü. Ðåøåíèå. Çàìåíèì âñå ÷èñëà â ñòðîêå íà èõ îñòàòêè îò äåëåíèÿ íà 3, îò ýòîãî ðåçóëüòàò èãðû íå èçìåíèòñÿ. Ïîëó÷èì ñòðîêó 1, 2, 0, . . ., 1, 2, 0. Ïðîìåæóòêè ìåæäó ÷èñëàìè ïðîíóìåðóåì ñëåâà íàïðàâî îò 1 äî 59. Ïåðâûì õîäîì Èãîðü ñòàâèò çíàê ¾−¿ â 30-é ïðîìåæóòîê, à âñå îñòàëüíûå ïðîìåæóòêè îí ðàçáèâàåò íà ïàðû âèäà (i, 30 + i). Åñëè Ðóñëàí ñòàâèò â êàêîé-òî ïðîìåæóòîê çíàê ¾+¿ èëè ¾−¿, òî Èãîðü â ïàðíûé ïðîìåæóòîê ñòàâèò ¾−¿ èëè ¾+¿, ñîîòâåòñòâåííî. À åñëè Ðóñëàí ñòàâèò çíàê ¾×¿, òî Èãîðü ñòàâèò â ïàðíûé ïðîìåæóòîê òàêæå çíàê ¾×¿. Êîãäà âñå çíàêè ðàññòàâëåíû, ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ðàçáèâàåòñÿ íà íåñêîëüêî ñëàãàåìûõ. Ïðè ýòîì â ëåâîé è ïðàâîé ïîëîâèíàõ âûðàæåíèÿ íàáîð ñëàãàåìûõ îäèíàêîâûé, íî áåðóòñÿ îíè ñ ïðîòèâîïîëîæíûìè çíàêàìè. Ñëåäîâàòåëüíî, åãî çíà÷åíèå áóäåò äàâàòü îñòàòîê 0 ïðè äåëåíèè íà 3. 9.8. Íà ïåðèìåòðå òðåóãîëüíèêà ABC âûáðàíû òî÷êè D1 , D2 , E1 , E2 , F1 , F2 òàê, ÷òî ïðè îáõîäå ïåðèìåòðà òî÷êè âñòðå÷àþòñÿ â ïîðÿäêå A, F1 , F2 , B , D1 , D2 , C , E1 , E2 . Îêàçàëîñü, ÷òî AD1 = = AD2 = BE1 = BE2 = CF1 = CF2 . Äîêàæèòå, ÷òî ïåðèìåòðû òðåóãîëüíèêîâ, îáðàçîâàííûõ òðîéêàìè ïðÿìûõ AD1 , BE1 , CF1 è AD2 , BE2 , CF2 , ðàâíû. Ðåøåíèå. Íà÷í¼ì ñî ñëåäóþB K ùåé ïîëåçíîé ëåììû. Ëåììà. Ïóñòü òî÷êè F è E F âûáðàíû ñîîòâåòñòâåííî íà ñòîðîíàõ AB è AC ïàðàëëåëîãðàììà ABKC òàê, ÷òî BE = CF . A E C Òîãäà òî÷êà K ðàâíîóäàëåíà îò Ðèñ. 5 ïðÿìûõ BE è CF (ñì. ðèñ. 8). Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó BK ∥ EC è CK ∥ F B , èìååì SKBE = SKBC = SKF C . Òàê êàê BE = CF , îòñþäà è ñëåäóåò, ÷òî ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êè K äî ïðÿìûõ BE è CF ðàâíû. □ Ïåðåéä¼ì ê ðåøåíèþ. Ïóñòü ïðÿìûå èç óñëîâèÿ îáðàçó9

LI Âñåðîññèéñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâ

þò òðåóãîëüíèêè X1 Y1 Z1 è X2 Y2 Z2 (òî÷êè îáîçíà÷åíû êàê íà ðèñ. 9).

P2

F2

Z1 D1 X2 P1

F1 Y 1 Y2

Z2 A

E2

X1 E1

D2

Q Q22222 C

Q1

Ðèñ. 6 Âûáåðåì òî÷êó K òàê, ÷òî ABKC  ïàðàëëåëîãðàìì; ñîãëàñíî ëåììå, òî÷êà K ðàâíîóäàëåíà îò ïðÿìûõ BE1 , CF1 , BE2 è CF2 ; çíà÷èò, ñóùåñòâóåò îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì K , êàñàþùàÿñÿ ýòèõ ïðÿìûõ â íåêîòîðûõ òî÷êàõ P1 , Q1 , P2 è Q2 ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà èç ðàâåíñòâ îòðåçêîâ êàñàòåëüíûõ âûòåêàåò, ÷òî BX1 − CX1 = BP1 + X1 P1 − X1 Q1 + CQ1 = BP2 + CQ2 =

= BP2 − X2 P2 + X2 Q2 + CQ2 = CX2 − BX2 . Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì, ÷òî CY1 − AY1 = AY2 − CY2 è AZ1 − − BZ1 = BZ2 − AZ2 . Ñêëàäûâàÿ ïîëó÷åííûå òðè ðàâåíñòâà, ïîëó÷àåì òðåáóåìîå ðàâåíñòâî ïåðèìåòðîâ.

10