Олимпиада по математике 10 класс — заключительный этап ВсОШ 2024/2025: задания и ответы

Критерий

10.1

Балл

Приведена стратегия, но не показано, как должен ходить Вася, если соответствующая клетка уже занята или не существует

баллы не снижаются

В решении не описан случай, когда Петя ставит букву, отличную от П, Е, Т или Я

баллы не снижаются

Баллы по критериям НЕ суммируются A1. Доказана вписанность (BCQR) без дальнейших продвижений

1 балл

A2. При инверсии с центром в A доказано, что окружности (BPC) и (QPR) меняются местами

1 балл

B. Получен один из результатов A1 или A2 и заявлено (но не доказано), что центр (BCQR) является центром искомой окружности

2 балла

C. Пусть точки O_1 и O_2 - центры окружностей (BPC) и (QPR). Получен один из результатов A1 или A2 и заявлено (но не доказано), что треугольник, образованный прямыми BO_1, QO_2 и AB (или прямыми CO_1, RO_2 и AC), является равнобедренным.

10.2

10.3

10.4

Получены различные равенства углов (выведены из касания и т.д.) Только случаи n=1 и n=2

0 баллов

Только случай n=3 и, возможно, n=1 и n=2 (другие частные случаи n не добавляют баллов)

1 балл

Только идея рассматривать числа вида a^{2^k}-1 с наибольшим подходящим k

1 балл

Два предыдущих критерия вместе

2 балла

Есть случай n=3, для случая n не меньше 4 доказано, что если 2^{k+1} <= n < 2^{k+2}), то a^(2^k) + 1 взаимно просто с другими скобками, но отсюда не выведена задача

5 баллов

Задача сведена к доказательству того, что a^{2^k}+1 (с наибольшим возможным k) взаимно просто с остальными скобками

4 балла

Сведение задачи к случаю, что a^{p-1)+...+a+1 --- точный квадрат для некоторого простого p (например, с помощью постулата Бертрана)

баллы не добавляются

Доказано, что если n чётно, то a≡0 (mod 8), а если n нечётно, то a≡6 (mod 8)

баллы не добавляются

Только пример на $c \neq 15/4$

0 баллов

Доказано, что найдется шестерка с суммой, по модулю не превосходящей 5

0 баллов

Идея перехода к семи точкам, среди которых есть шестерки как с положительной, так и с отрицательной суммой

0 баллов

Пример на $c = 15/4$

2 балла

Оценка на [n/2] декларирована, но не доказана Алгоритм для примера ломается (не отслеживается, что некоторые четные числа могут уже быть использованы)

10.5

10.6

нет обоснования, что все НОДы встретятся

штраф 1 балл 5 баллов штраф 1 балл

Только доказательство, что для любого многочлена f(x) можно подобрать многочлен g(x) степени не выше 98

3 балла

Только доказательство, что для каких-то многочленов f(x) может не быть подходящего многочлена g(x) степени не выше 97

4 балла

Только пример многочлена f(x), про который утверждается, что не удастся подобрать подходящий многочлен g(x) степени не более 97 (без доказательства этого факта).

0 баллов

Мелкие ошибки (одна или несколько): -- в формулировке теоремы Виета потерян знак и/или забыто деление на старший коэффициент -- в построенном примере g(x) для некоторых многочленов f(x) у многочлена f(x)-g(x) могут быть кратные корни -- при взятии производной у многочлена f(x)-g(x) никак не поясняется, почему она в точке пересечения не равна 0

штраф 1 балл

В формулировке теоремы Виета перепутаны коэффициенты при старших степенях и при младших степенях (например, утверждается, что коэффиеинт при x^99 равен минус сумме всех возможных произведений по 99 корней)

0 баллов за соотв. часть

Только верный пример БЕЗ обоснования

4 балла

Только верный пример С обоснованием

5 баллов

Только оценка, почему не может быть 25. При этом эта оценка должна быть явно сформулирована и доказана (с разбором всех случаев)

1 балл

Примеры на k<24 не оцениваются

10.7

2 балла баллы не добавляются

В обосновании оценки упущен один случай (или разобран неверно)

0 баллов штраф 1 балл

Критерий

10.8

НЕТ критериев

Балл

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï, 20242025 ó÷åáíûé ãîä

10 êëàññ 10.1. Ïåòÿ è Âàñÿ èãðàþò â èãðó íà èçíà÷àëüíî ïóñòîé êëåò÷àòîé òàáëèöå 100 × 100, äåëàÿ õîäû ïî î÷åðåäè. Íà÷èíàåò Ïåòÿ. Çà ñâîé õîä èãðîê âïèñûâàåò â íåêîòîðóþ ïóñòóþ êëåòêó ëþáóþ çàãëàâíóþ áóêâó ðóññêîãî àëôàâèòà (â êàæäóþ êëåòêó ìîæíî âïèñàòü ðîâíî îäíó áóêâó). Êîãäà âñå êëåòêè áóäóò çàïîëíåíû, Ïåòÿ îáúÿâëÿåòñÿ ïîáåäèòåëåì, åñëè íàéäóòñÿ ÷åòûðå ïîäðÿä èäóùèå êëåòêè ïî ãîðèçîíòàëè, â êîòîðûõ ñëåâà íàïðàâî íàïèñàíî ñëîâî ¾ÏÅÒß¿, èëè íàéäóòñÿ ÷åòûðå ïîäðÿä èäóùèå êëåòêè ïî âåðòèêàëè, â êîòîðûõ ñâåðõó âíèç íàïèñàíî ñëîâî ¾ÏÅÒß¿. Ñìîæåò ëè Ïåòÿ âûèãðàòü íåçàâèñèìî îò äåéñòâèé Âàñè? Îòâåò. Íå ñìîæåò. Ðåøåíèå. Îïèøåì âûèãðûøíóþ ñòðàòåãèþ Âàñè. Ïóñòü Âàñÿ âñå âðåìÿ ïèøåò áóêâó ¾Þ¿ â êëåòêó ñîãëàñíî ñëåäóþùèì íèæå óñëîâèÿì; à åñëè óêàçàííàÿ êëåòêà íå ñóùåñòâóåò èëè óæå çàíÿòà, à òàêæå åñëè Ïåòÿ ñòàâèò ëþáóþ áóêâó îòëè÷íóþ îò ¾Ï¿, ¾Å¿, ¾Ò¿, ¾ß¿, òî ïóñòü Âàñÿ ñòàâèò ¾Þ¿ â ëþáóþ ñâîáîäíóþ êëåòêó. Åñëè Ïåòÿ â íåêîòîðîé êëåòêå ïèøåò áóêâó ¾Ï¿, òî Âàñÿ ïèøåò ¾Þ¿ â êëåòêå, ñîñåäíåé ñ íåé ñïðàâà; åñëè Ïåòÿ ïèøåò áóêâó ¾Å¿, òî Âàñÿ ïèøåò ¾Þ¿ â êëåòêå, ñîñåäíåé ñ íåé ñëåâà; åñëè Ïåòÿ ïèøåò áóêâó ¾Ò¿, òî Âàñÿ ïèøåò ¾Þ¿ â êëåòêå, ñîñåäíåé ñ íåé ñíèçó; åñëè Ïåòÿ ïèøåò áóêâó ¾ß¿, òî Âàñÿ ïèøåò ¾Þ¿ â êëåòêå, ñîñåäíåé ñ íåé ñâåðõó. Èç ïåðâûõ äâóõ óñëîâèé ñëåäóåò, ÷òî â äâóõ ñîñåäíèõ ïî ãîðèçîíòàëè êëåòêàõ íå ìîãëî ïîÿâèòüñÿ ¾ÏÅ¿, ÷èòàåìîå ñëåâà íàïðàâî.  ñàìîì äåëå, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ãîðèçîíòàëüíîå ¾ÏÅ¿ ïîÿâèëîñü; òîãäà ïîñëå ïîÿâëåíèÿ ïåðâîé èç ýòèõ äâóõ áóêâ Âàñÿ, ñîãëàñíî îïèñàííîé ñòðàòåãèè, ñðàçó çàéì¼ò ìåñòî âòîðîé èç ýòèõ áóêâ  ïðîòèâîðå÷èå. Àíàëîãè÷íî, â äâóõ ñîñåäíèõ ïî âåðòèêàëè êëåòêàõ íå ìîãëî ïîÿâèòüñÿ ¾Òß¿, ÷èòàåìîå ñâåðõó âíèç. 10.2. Âíóòðè òðåóãîëüíèêà ABC îòìå÷åíà òî÷êà P . Íà îòðåçêå AB îòìå÷åíà òî÷êà Q, à íà îòðåçêå AC  òî÷êà R òàê, ÷òî îïèñàííûå îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêîâ BP Q è CP R êàñàþòñÿ ïðÿìîé AP . ×åðåç òî÷êè B è C ïðîâåëè ïðÿìûå, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà BP C , à ÷åðåç òî÷êè 11

LI Âñåðîññèéñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâ

Q è R  ïðÿìûå, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà P QR. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò îêðóæíîñòü, êîòîðàÿ êàñàåòñÿ ÷åòûð¼õ ïðîâåä¼ííûõ ïðÿìûõ. 2 = AC · AR, ÷åòûÐåøåíèå. Ïîñêîëüêó AB · AQ = AP ð¼õóãîëüíèê BCRQ  âïèñàííûé. Ïóñòü O  öåíòð îêðóæíîñòè (BCRQ). Îáîçíà÷èì ÷åðåç O1 è O2 öåíòðû îêðóæíîñòåé (BP C) è (QP R). Ïîêàæåì, ÷òî ïðÿìûå BO1 , CO1 , QO2 , RO2 ðàâíîóäàëåíû îò O. Òàê êàê OB = OC = OQ = OR, äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü ðàâåíñòâî (íàïðàâëåííûõ) óãëîâ ∠OCO1 = ∠O1 BO = ∠OQO2 = ∠O2 RO. Çäåñü ïåðâîå è ïîñëåäíåå ðàâåíñòâà î÷åâèäíû èç ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ ê BC è QR. B

Q O1 O

O22222 O P

A R R

C Ðèñ. 7 Îñòà¼òñÿ äîêàçàòü ðàâåíñòâî ∠O1 BO = ∠OQO2 (∗). Èç ñ÷¼òà óãëîâ ïîëó÷àåì ∠OQO2 = ∠OQR − ∠O2 QR = (90◦ − − ∠RCQ) − (90◦ − ∠RP Q) = ∠RP Q − ∠RCQ. Àíàëîãè÷íî ∠O1 BO = ∠BP C − ∠BQC . Çíà÷èò, (∗) ýêâèâàëåíòíî ðàâåíñòâó ∠RP Q − ∠RCQ = ∠BP C − ∠BQC èëè ∠BQC − ∠RCQ = = ∠BP C − ∠RP Q (∗∗). Èç êàñàíèÿ îêðóæíîñòåé (BP Q) è (CP R) ñëåäóåò ∠RP Q = ∠RCP + ∠P BQ, ÷òî ðàâíî (èç ñóììû óãëîâ ÷åòûð¼õóãîëüíèêà BP CA) ∠BP C − ∠BAC . Òåì ñàìûì, (∗∗) ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó ∠BQC − ∠RCQ = ∠BAC , ÷òî âåðíî. Çàäà÷à ðåøåíà. 10.3. Íàéäèòå âñå íàòóðàëüíûå n, äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóåò òàêîå ÷¼ò12

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï, 20242025 ó÷åáíûé ãîä íîå íàòóðàëüíîå a, ÷òî ÷èñëî (a − 1)(a2 − 1) . . . (an − 1) ÿâëÿåòñÿ

òî÷íûì êâàäðàòîì. Îòâåò. n = 1 è n = 2. 2 Ðåøåíèå. Äëÿ n = 1 ïîäîéä¼ò ëþáîå ÷¼òíîå a âèäà m + 1, íàïðèìåð, a = 2. Äëÿ n = 2 ïîäîéä¼ò ëþáîå ÷¼òíîå a âèäà m2 −1, íàïðèìåð, a = 8. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ n = 3 íàøëîñü òðåáóåìîå ÷èñëî a. Òîãäà ÷èñëî (a − 1)(a2 − 1)(a3 − 1) = (a − 1)3 (a + 1)(a2 + a + 1) ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì êâàäðàòîì. Ïîñêîëüêó a2 + a + 1 = a(a + 1) + 1, ÷èñëà a + 1 è a2 + a + 1 âçàèìíî ïðîñòû. Ðàç ÷èñëî a + 1 íå÷¼òíî, ÷èñëà a + 1 è a − 1 òàêæå âçàèìíî ïðîñòû. Ñëåäîâàòåëüíî, ÷èñëà a + 1 è (a − 1)(a2 + a + 1)  òî÷íûå êâàäðàòû.  ÷àñòíîñòè, ÷èñëî a + 1 ïðè äåëåíèè íà 3 ìîæåò äàâàòü ëèøü îñòàòîê 0 èëè 1, à òîãäà ÷èñëî a − 1 íå äåëèòñÿ íà 3. Îòñþäà ÍÎÄ(a − 1, a2 + a + 1) = ÍÎÄ(a − 1, (a + 2)(a − 1) + 3) =

= ÍÎÄ(a − 1, 3) = 1, çíà÷èò, ÷èñëà a − 1 è a2 + a + 1 òàêæå ÿâëÿþòñÿ òî÷íûìè êâàä-

ðàòàìè. Íî âòîðîå ÿâëÿòüñÿ êâàäðàòîì íå ìîæåò, ïîñêîëüêó a2 < a2 + a + 1 < (a + 1)2 . Ïðîòèâîðå÷èå. Îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî òðåáóåìîãî a íå ñóùåñòâóåò ïðè n ⩾ 4. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òàêîå a íàøëîñü. Âîçüì¼ì òàêîå íàòók k−1 ðàëüíîå k ⩾ 2, ÷òî 2k ⩽ n < 2k+1 . Ïîñêîëüêó a2 − 1 = (a2 − k−1

− 1)(a2 + 1), ÷èñëî (a − 1)(a2 − 1) . . . (an − 1) ïðåäñòàâëÿåòñÿ k−1 â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ a2 + 1 è íåñêîëüêèõ ìíîæèòåëåé âèäà m a − 1, ãäå 1 ⩽ m ⩽ n è m ̸= 2k . k−1 Äîêàæåì, ÷òî ìíîæèòåëü a2 + 1 âçàèìíî ïðîñò ñî âñåìè k−1 îñòàëüíûìè ìíîæèòåëÿìè â ýòîì ðàçëîæåíèè. Ïóñòü a2 +1 è k m a − 1 èìåþò íåêîòîðûé îáùèé äåëèòåëü d. Òîãäà è ÍÎÄ(a2 − k k − 1, am − 1) êðàòåí d. Íî ÍÎÄ(a2 − 1, am − 1) = aÍÎÄ(2 ,m) − − 1. Ïîñêîëüêó m ̸= 2k è m ⩽ n < 2k+1 , ÷èñëî m íå ìîæåò äåëèòüñÿ íà 2k . Òàêèì îáðàçîì, ÍÎÄ(2k , m)  ñòåïåíü äâîéêè, k−1 íå ïðåâîñõîäÿùàÿ 2k−1 . Ñëåäîâàòåëüíî, a2 − 1 äåëèòñÿ íà k 2 m ÍÎÄ(a − 1, a − 1), à çíà÷èò, äåëèòñÿ è íà d. Ïîñêîëüêó a 13

LI Âñåðîññèéñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâ k−1

k−1

÷¼òíî, ÷èñëà a2 − 1 è a2 + 1 íå èìåþò îáùèõ äåëèòåëåé, îòëè÷íûõ îò 1, çíà÷èò, d = 1, ÷òî è òðåáîâàëîñü. k−1 + 1 âçàèìíî ïðîñò ñî âñåìè îñòàëüíûìè Ìíîæèòåëü a2 ìíîæèòåëÿìè â ïðîèçâåäåíèè, ÿâëÿþùåìñÿ òî÷íûì êâàäðàòîì, k−1 +1 è ïîýòîìó îí ñàì ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì êâàäðàòîì. Òîãäà a2 k−1 2  îòëè÷àþùèåñÿ íà 1 êâàäðàòû íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ÷òî a íåâîçìîæíî. Çíà÷èò, íàøå ïðåäïîëîæåíèå íåâåðíî, è äëÿ n ⩾ 4 òðåáóåìûõ ÷èñåë a íå íàéä¼òñÿ. 10.4. Íà ïëîñêîñòè îòìå÷åíû 106 òî÷åê, íèêàêèå òðè èç êîòîðûõ íå ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé, è ïðîâåäåíû âñå îòðåçêè ìåæäó íèìè. Ãðèøà ïîñòàâèë íà êàæäîì ïðîâåä¼ííîì îòðåçêå âåùåñòâåííîå ÷èñëî, ïî ìîäóëþ íå ïðåâîñõîäÿùåå 1, è äëÿ êàæäîé øåñò¼ðêè îòìå÷åííûõ òî÷åê ïîñ÷èòàë ñóììó ÷èñåë íà âñåõ 15 îòðåçêàõ, ñîåäèíÿþùèõ èõ. Îêàçàëîñü, ÷òî êàæäàÿ òàêàÿ ñóììà ïî ìîäóëþ íå ìåíüøå ÷èñëà C , ïðè ýòîì ñðåäè òàêèõ ñóìì åñòü êàê ïîëîæèòåëüíàÿ, òàê è îòðèöàòåëüíàÿ. Ïðè êàêîì íàèáîëüøåì C ýòî âîçìîæíî? 15 . Îòâåò. 4 Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ãðàô, âåðøèíàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ îòìå÷åííûå òî÷êè, à ð¼áðàìè  ïðîâåä¼ííûå îòðåçêè. Îöåíêà. Äîêàæåì îöåíêó C ⩽ 15 . Óñëîâèå ãëàñèò, ÷òî â íà4

øåì ïîëíîì ãðàôå åñòü êàê øåñò¼ðêè âåðøèí, ñóììà íà ð¼áðàõ ìåæäó êîòîðûìè ïîëîæèòåëüíà, òàê è øåñò¼ðêè, ñóììà íà ð¼áðàõ ìåæäó êîòîðûìè îòðèöàòåëüíà. Òîãäà íàéäóòñÿ äâå øåñò¼ðêè, îòëè÷àþùèåñÿ çàìåíîé òîëüêî îäíîé âåðøèíû, òàêèå, ÷òî ó îäíîé èç íèõ ñóììà ïîëîæèòåëüíà, ó äðóãîé îòðèöàòåëüíà.  ñàìîì äåëå, âîçüì¼ì øåñò¼ðêó ñ ïîëîæèòåëüíîé ñóììîé, è áóäåì ïðåâðàùàòü å¼ â øåñò¼ðêó ñ îòðèöàòåëüíîé, ìåíÿÿ âåðøèíû ïî îäíîé  íà êàêîì òî øàãå ïðîèçîøëî èçìåíåíèå çíàêà, øåñò¼ðêè, êîòîðûå áûëè äî è ïîñëå ýòîãî øàãà  èñêîìàÿ ïàðà. Äàëåå ðàáîòàåì ñ ïîëíûì ïîäãðàôîì íà ìíîæåñòâå S èç ñåìè âåðøèí  îáúåäèíåíèè âûøåîïèñàííîé ïàðû øåñò¼ðîê. Ðàññìîòðèì âñå ñåìü øåñò¼ðîê, êîòîðûå ìîæíî ïîëó÷èòü âûáðàñûâàíèåì îäíîé âåðøèíû èç S . Ïóñòü ñðåäè íèõ k ñ îòðèöàòåëüíûìè ñóììàìè  ïîëó÷àþùèåñÿ âûáðàñûâàíèåì âåð14

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï, 20242025 ó÷åáíûé ãîä

øèí A1 , . . . , Ak (áóäåì íàçûâàòü ýòè âåðøèíû A-âåðøèíàìè, à ñîîòâåòñòâóþùèå øåñò¼ðêè  A-øåñò¼ðêàìè ), è 7 − k ñ ïîëîæèòåëüíûìè ñóììàìè  ïîëó÷àþùèåñÿ âûáðàñûâàíèåì âåðøèí B1 , . . . , B7−k (áóäåì íàçûâàòü ýòè âåðøèíû B -âåðøèíàìè, à ñîîòâåòñòâóþùèå øåñò¼ðêè  B -øåñò¼ðêàìè ). мáðà ìåæäó äâóìÿ A-âåðøèíàìè áóäåì íàçûâàòü AA-ð¼áðàìè, ìåæäó äâóìÿ B -âåðøèíàìè  BB -ð¼áðàìè, à ð¼áðà, ñîåäèíÿþùèå A-âåðøèíó ñ B -âåðøèíîé  AB -ð¼áðàìè. Èç ñòàðîé ðàññòàíîâêè ÷èñåë íà ð¼áðàõ, ñîåäèíÿþùèõ âåðøèíû ìíîæåñòâà S , ïîëó÷èì íîâóþ ðàññòàíîâêó, çàìåíèâ âñå ÷èñëà íà AA-ð¼áðàõ íà ÷èñëî x, ðàâíîå èõ ñðåäíåìó àðèôìåòè÷åñêîìó, è àíàëîãè÷íî çàìåíèâ âñå ÷èñëà íà AB -ð¼áðàõ íà èõ ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå y , à âñå ÷èñëà íà BB -ð¼áðàõ íà èõ ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå z . Î÷åâèäíî, |x| ⩽ 1, |y| ⩽ 1, |z| ⩽ 1, òàê êàê âñå ñòàðûå ÷èñëà ïî ìîäóëþ íå ïðåâîñõîäÿò 1. Ëåììà. Ïîäãðàô S ñ íîâûìè ÷èñëàìè íà ð¼áðàõ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ñ òîé æå êîíñòàíòîé C . Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ êàæäîãî AAðåáðà åñòü îäíî è òî æå êîëè÷åñòâî A-øåñò¼ðîê, â êîòîðûå âõîäÿò îáà åãî êîíöà. È íàîáîðîò, äëÿ ëþáîé A-øåñò¼ðêè ñðåäè 15 ð¼áåð ìåæäó å¼ âåðøèíàìè åñòü îäíî è òî æå êîëè÷åñòâî AA-ð¼áåð. Òî æå âåðíî äëÿ AB -ð¼áåð è äëÿ BB -ð¼áåð. Çíà÷èò, ñóììà ΣA ÷èñåë íà ð¼áðàõ â A-øåñò¼ðêå â íîâîé ðàññòàíîâêå åñòü ñðåäíåå ñóìì ïî âñåì A-øåñò¼ðêàì â ñòàðîé ðàññòàíîâêå, òî åñòü ñðåäíåå íåñêîëüêèõ ÷èñåë, íå áîëüøèõ −C ; çíà÷èò, ΣA ⩽ −C . Àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå âåðíî äëÿ ñóìì â B -øåñò¼ðêàõ. Ëåììà äîêàçàíà. □ Äàëåå èçó÷àåì íîâóþ ðàññòàíîâêó. Ðàññìîòðèì ñëó÷àè. Ñëó÷àé k = 1. Èíûìè ñëîâàìè, åñòü ðîâíî îäíà A-øåñò¼ðêà, íà êîòîðîé ïÿòíàäöàòü BB -ð¼áåð, è øåñòü B -øåñò¼ðîê, íà êàæäîé èç êîòîðûõ äåñÿòü BB -ð¼áåð è ïÿòü AB -ð¼áåð. Èìååì ñèñòåìó íåðàâåíñòâ: 15z ⩽ −C , 5y + 10z ⩾ C . Óìíîæèì ïåðâîå íà −2, ñëîæèì ñî âòîðûì, óìíîæåííûì íà 3, ïîëó÷èì 15y ⩾ 5C , îòêóäà C ⩽ 3. Ñëó÷àé k = 2. Òåïåðü ó íàñ äâå A-âåðøèíû è ïÿòü B âåðøèí, òî åñòü íà A-øåñò¼ðêå åñòü äåñÿòü BB -ð¼áåð è ïÿòü AB -ð¼áåð, à íà B -øåñò¼ðêå  øåñòü BB -ð¼áåð, âîñåìü AB -ð¼áåð 15

LI Âñåðîññèéñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâ

è îäíî AA-ðåáðî. Èìååì 5y + 10z ⩽ −C , x + 8y + 6z ⩾ C . Èñêëþ÷àÿ z , ïîëó÷àåì 8C ⩽ 5x + 25y ⩽ 30, çíà÷èò, C ⩽ 15 . 4

Ñëó÷àé k = 3. Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó, èìååì x + 8y +

+ 6z ⩽ −C , 3x + 9y + 3z ⩾ C . Èçáàâëÿÿñü íà ýòîò ðàç îò y , < 15 . ïîëó÷àåì 17C ⩽ 15x − 30z ⩽ 45, îòêóäà C ⩽ 45 17 4

Ñëó÷àè k ⩾ 4 ñâîäÿòñÿ ê ðàññìîòðåííûì óìíîæåíèåì âñåõ ÷èñåë íà −1, ÷òî âåä¼ò ê çàìåíå k 7→ 7 − k . Èòàê, îöåíêà C ⩽ 15 4 äîêàçàíà. Ïðèìåð. Ëþáîå ÷èñëî âåðøèí îò äâóõ äî 999995 îáúÿâèì âåðøèíàìè òèïà A, îñòàëüíûå  âåðøèíàìè òèïà B . Íà âñåõ ð¼áðàõ ìåæäó äâóìÿ âåðøèíàìè òèïà B íàïèøåì ÷èñëî − 87 , íà âñåõ îñòàëüíûõ  ÷èñëî 1. Òîãäà, åñëè â øåñò¼ðêå âåðøèí õîòÿ áû ïÿòü B -âåðøèí, òî ñóììà â íåé íå áîëüøå − 15 , à èíà÷å  íå 4 ìåíüøå 15 . 4

10.5. Äàíî íàòóðàëüíîå ÷èñëî n. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà 1, 2, . . . , n âûïèñûâàþò íà äîñêå â ñòðî÷êó â íåêîòîðîì ïîðÿäêå. Ó êàæäûõ äâóõ ñòîÿùèõ ðÿäîì ÷èñåë âû÷èñëÿþò èõ ÍÎÄ (íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü) è çàïèñûâàþò ýòîò ÍÎÄ íà ëèñòêå. Êàêîå íàèáîëüøåå êîëè÷åñòâî ðàçëè÷íûõ ÷èñåë ìîæåò áûòü ñðåäè âñåõ n − 1 âûïèñàííûõ íà ëèñòêå ÷èñåë? Îòâåò. ⌊n/2⌋. Ðåøåíèå. Îöåíêà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî êàêîå-òî èç âûïèñàííûõ íà ëèñòêå ÷èñåë áîëüøå ⌊n/2⌋, ñêàæåì, ÍÎÄ(a, b) = d > > ⌊n/2⌋. Òîãäà íàèáîëüøåå èç ÷èñåë a, b íå ìåíüøå 2d, ÷òî áîëüøå n  ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò, êàæäûé èç íàïèñàííûõ ÍÎÄîâ íå ïðåâîñõîäèò ⌊n/2⌋, ïîòîìó êîëè÷åñòâî ðàçëè÷íûõ ÍÎÄîâ íå ìîæåò ïðåâûøàòü ⌊n/2⌋. Ïðèìåð. Ðàçîáü¼ì âñå ÷èñëà îò 1 äî n íà öåïî÷êè âèäà a, 2a, 4a, 8a, . . . , 2k a, ãäå a  íå÷¼òíîå ÷èñëî, íå ïðåâîñõîäÿùåå n. Âûïèøåì â ñòðî÷êó öåïî÷êè îäíó çà äðóãîé. Òîãäà äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî d ⩽ ⌊n/2⌋ íàéä¼òñÿ öåïî÷êà, â êîòîðîé âñòðå÷àåòñÿ d, à ñëåäóþùåå çà d ÷èñëî áóäåò 2d. Âèäèì, ÷òî êàæäîå íàòóðàëüíîå d ⩽ ⌊n/2⌋ áóäåò âûïèñàíî íà ëèñòêå. 10.6. Ïðè êàêîì íàèìåíüøåì k äëÿ ëþáîãî ìíîãî÷ëåíà f (x) ñòåïåíè 100 ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè íàéä¼òñÿ òàêîé ìíîãî16

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï, 20242025 ó÷åáíûé ãîä

÷ëåí g(x) ñòåïåíè íå âûøå k ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè, ÷òî ãðàôèêè y = f (x) è y = g(x) èìåþò ðîâíî 100 îáùèõ òî÷åê? Îòâåò. 98. Ðåøåíèå. Ïîëîæèì n = 100. 1. Ïîêàæåì, êàê ïîäîáðàòü íóæíûé ìíîãî÷ëåí g ñòåïåíè íå âûøå n − 2 äëÿ äàííîãî ìíîãî÷ëåíà f ñòåïåíè n. Ïðè äîìíîæåíèè f íà íåíóëåâóþ êîíñòàíòó óñëîâèå íå ïîìåíÿåòñÿ (g ìîæíî äîìíîæèòü íà òó æå êîíñòàíòó), ïîýòîìó ñ÷èòàåì, ÷òî ñòàðøèé êîýôôèöèåíò f ðàâåí 1, òàê ÷òî f (x) = xn + a1 xn−1 + . . . + an . Âîçüì¼ì ïðîèçâîëüíûé íàáîð n ðàçëè÷íûõ ÷èñåë x1 , . . . , xn , äàþùèõ â ñóììå −a1 , è ïîëîæèì h(x) = (x − x1 ) . . . (x − xn ), g(x) = f (x) − h(x), òàê ÷òî h = f − g . Âèäèì, ÷òî ó f è h ñîâïàäàþò êîýôôèöèåíòû ïðè xn è ïðè xn−1 , ïîýòîìó ñòåïåíü g íå ïðåâûøàåò n − 2. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, àáñöèññû òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ãðàôèêîâ f è g  ýòî â òî÷íîñòè êîðíè ìíîãî÷ëåíà h, à èõ ðîâíî n. 2. Ïîêàæåì, ÷òî k ⩽ n − 3 íå ðàáîòàåò. Ïóñòü äàí ìíîãî÷ëåí f (x) = xn , à g(x)  ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè íå âûøå n − 3. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ãðàôèêè f è g ïåðåñåêàþòñÿ â n òî÷êàõ, èìåþùèõ àáñöèññû x1 , . . . , xn . Íî òîãäà ìíîãî÷ëåí f − g ñòåïåíè n èìååò n âåùåñòâåííûõ êîðíåé x1 , . . . , xn . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ó f − g êîýôôèöèåíòû ïðè xn−1 è xn−2 ðàâíû 0. Íî òîãäà ïî òåîðåìå Âèåòà ñóììà s1 = x1 + . . . + xn è ñóììà ïîïàðíûõ ïðîèçâåäåíèé s2 = x1 x2 + x1 x3 + . . . + xn−1 xn ðàâíû 0. Îòñþäà x21 +. . .+x2n = s21 −2s2 = 0, ñëåäîâàòåëüíî x1 = x2 = . . . = xn = 0, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò òîìó, ÷òî xi ðàçëè÷íû. 10.7.  ïðîãðàììó ñîðåâíîâàíèÿ âõîäèò 25 âèäîâ ñïîðòà, â êàæäîì èç êîòîðûõ îïðåäåëÿåòñÿ îäèí ïîáåäèòåëü, ïîëó÷àþùèé çîëîòóþ ìåäàëü.  ñîðåâíîâàíèè ó÷àñòâóþò 25 ñïîðòñìåíîâ, êàæäûé  âî âñåõ 25 âèäàõ ñïîðòà. Èìååòñÿ 25 ýêñïåðòîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ äîëæåí ñäåëàòü ïðîãíîç, ñêîëüêî çîëîòûõ ìåäàëåé ïîëó÷èò êàæäûé ñïîðòñìåí, ïðè ýòîì â åãî ïðîãíîçå êîëè÷åñòâà ìåäàëåé äîëæíû ÿâëÿòüñÿ öåëûìè íåîòðèöàòåëüíûìè ÷èñëàìè ñ ñóììîé 25. Ýêñïåðòà ïðèçíàþò êîìïåòåíòíûì, åñëè îí âåðíî óãàäàåò êîëè÷åñòâî çîëîòûõ ìåäàëåé õîòÿ áû ó îäíîãî ñïîðòñìåíà. Ïðè êàêîì íàèáîëüøåì k ýêñïåðòû ìîãóò ñäåëàòü òàêèå 17

LI Âñåðîññèéñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâ

ïðîãíîçû, ÷òî õîòÿ áû k èç íèõ áóäóò ïðèçíàíû êîìïåòåíòíûìè íåçàâèñèìî îò èñõîäà ñîðåâíîâàíèÿ? Îòâåò. 24. Ðåøåíèå. Îöåíêà. Ïîêàæåì, ÷òî k ⩽ 24, ò. å. ÷òî ëþáîé ýêñïåðò ìîæåò îêàçàòüñÿ íåêîìïåòåíòíûì. Åñëè ýòîò ýêñïåðò ñ÷èòàåò, ÷òî âñå ñïîðòñìåíû âîçüìóò ïî îäíîé ìåäàëè, îïðîâåðãíåì åãî ðåçóëüòàòîì (25, 0, 0, . . . , 0). Èíà÷å ýêñïåðò ñ÷èòàåò, ÷òî íåñêîëüêî (õîòÿ áû îäèí) ñïîðòñìåíîâ ïîëó÷àò 0 ìåäàëåé. Òîãäà ðàñïðåäåëèì âñå ìåäàëè ìåæäó ýòèìè ñïîðòñìåíàìè òàê, ÷òîáû êàæäûé èç íèõ ïîëó÷èë õîòÿ áû îäíó ìåäàëü.  òàêîì ñëó÷àå ýêñïåðò íå óãàäàåò íè îäíîãî êîëè÷åñòâà ìåäàëåé. Ïðèìåð. Ïóñòü ïðîãíîç îäíîãî ýêñïåðòà  (1, 1, 1, . . . , 1), à ïðîãíîçû îñòàëüíûõ  (1, 0, . . . , 0, 24), (0, 1, . . . , 0, 24), . . . , (0, 0, . . . , 1, 24) (íà ïîñëåäíåì ìåñòå 24, è åù¼ îäíà åäèíèöà). Åñëè íåêîìïåòåíòíûì îêàçàëñÿ ïåðâûé ýêñïåðò, òî â èñõîäå òî÷íî åñòü õîòÿ áû òðè íóëÿ, èíà÷å õîòÿ áû â 23 ïîçèöèÿõ êîëè÷åñòâî ìåäàëåé íå ìåíüøå 2, è òîãäà îáùåå êîëè÷åñòâî ìåäàëåé íå ìåíüøå 23 · 2 > 25  ïðîòèâîðå÷èå. Íî òîãäà êàæäûé èç îñòàëüíûõ ýêñïåðòîâ êîìïåòåíòíûé. Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî äâîå ýêñïåðòîâ, îòëè÷íûõ îò ïåðâîãî, îêàçàëèñü íåêîìïåòåíòíûìè. Òîãäà â äâóõ ïîçèöèÿõ èõ ïðîãíîçû  0 è 1 ìåäàëåé, à çíà÷èò, â ðåàëüíîì èñõîäå â ýòèõ ïîçèöèÿõ íå ìåíåå 2 ìåäàëåé. Êðîìå òîãî, åù¼ â 22 ïîçèöèÿõ ïðîãíîçû îáîèõ ýêñïåðòîâ  íóëè, çíà÷èò, â ðåàëüíîì èñõîäå â ýòèõ ïîçèöèÿõ íå ìåíåå 1 ìåäàëè. Òîãäà îáùåå êîëè÷åñòâî ìåäàëåé íå ìåíüøå 2 · 2 + 22 · 1 > 25  ïðîòèâîðå÷èå. 10.8. Íà ïåðèìåòðå òðåóãîëüíèêà ABC âûáðàíû òî÷êè D1 , D2 , E1 , E2 , F1 , F2 òàê, ÷òî ïðè îáõîäå ïåðèìåòðà òî÷êè âñòðå÷àþòñÿ â ïîðÿäêå A, F1 , F2 , B , D1 , D2 , C , E1 , E2 . Îêàçàëîñü, ÷òî AD1 = = AD2 = BE1 = BE2 = CF1 = CF2 . Äîêàæèòå, ÷òî ïåðèìåòðû òðåóãîëüíèêîâ, îáðàçîâàííûõ òðîéêàìè ïðÿìûõ AD1 , BE1 , CF1 è AD2 , BE2 , CF2 , ðàâíû. Ðåøåíèå. Íà÷í¼ì ñî ñëåäóþùåé ïîëåçíîé ëåììû. Ëåììà. Ïóñòü òî÷êè F è E âûáðàíû ñîîòâåòñòâåííî íà ñòîðîíàõ AB è AC ïàðàëëåëîãðàììà ABKC òàê, ÷òî BE = = CF . Òîãäà òî÷êà K ðàâíîóäàëåíà îò ïðÿìûõ BE è CF (ñì. ðèñ. 8).

18

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï, 20242025 ó÷åáíûé ãîä

B K Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó BK ∥ EC è CK ∥ F B , èìååì SKBE = SKBC = SKF C . Òàê êàê F BE = CF , îòñþäà è ñëåäóåò, ÷òî ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êè K äî ïðÿìûõ BE è CF ðàâíû. □ A E C Ïåðåéä¼ì ê ðåøåíèþ. Ïóñòü Ðèñ. 8 ïðÿìûå èç óñëîâèÿ îáðàçóþò òðåóãîëüíèêè X1 Y1 Z1 è X2 Y2 Z2 (òî÷êè îáîçíà÷åíû êàê íà ðèñ. 9). P2

F2

Z1 D1 X2 P1

F1 Y 1 Y2

Z2 A

E2

X1 E1

D2

Q Q22222 C

Q1

Ðèñ. 9 Âûáåðåì òî÷êó K òàê, ÷òî ABKC  ïàðàëëåëîãðàìì; ñîãëàñíî ëåììå, òî÷êà K ðàâíîóäàëåíà îò ïðÿìûõ BE1 , CF1 , BE2 è CF2 ; çíà÷èò, ñóùåñòâóåò îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì K , êàñàþùàÿñÿ ýòèõ ïðÿìûõ â íåêîòîðûõ òî÷êàõ P1 , Q1 , P2 è Q2 ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà èç ðàâåíñòâ îòðåçêîâ êàñàòåëüíûõ âûòåêàåò, ÷òî BX1 − CX1 = BP1 + X1 P1 − X1 Q1 + CQ1 = BP2 + CQ2 =

= BP2 − X2 P2 + X2 Q2 + CQ2 = CX2 − BX2 . Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì, ÷òî CY1 − AY1 = AY2 − CY2 è AZ1 − 19

LI Âñåðîññèéñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâ

− BZ1 = BZ2 − AZ2 . Ñêëàäûâàÿ ïîëó÷åííûå òðè ðàâåíñòâà, ïîëó÷àåì òðåáóåìîå ðàâåíñòâî ïåðèìåòðîâ.

20