Математический маятник. Период колебаний
⚡ Физика · 9 класс
Что такое математический маятник
Математический маятник — это идеализированная модель колебательной системы: небольшое тело, которое можно считать материальной точкой, подвешено на лёгкой нерастяжимой нити. Реальные маятники, например тяжёлый шарик на тонкой длинной нити, близки к этой модели. Изучение математического маятника помогает понять общие закономерности свободных колебаний и научиться рассчитывать их период. Если отклонить такой маятник от положения равновесия и отпустить, он начнёт колебаться, причём возвращающую роль играет составляющая силы тяжести вдоль траектории.
Период математического маятника
Период — это время одного полного колебания, то есть время возвращения маятника в исходную точку с тем же направлением движения. Для математического маятника при малых отклонениях он вычисляется по формуле, которую вывел Христиан Гюйгенс:
T = 2π · корень(L / g)где L — длина нити, а g — ускорение свободного падения. У этой формулы есть замечательное свойство: период не зависит ни от массы груза, ни от амплитуды колебаний при малых углах. Зависит он только от длины нити и от того, на какой планете находится маятник, ведь ускорение свободного падения на Луне и на Земле разное. Это свойство называют изохронностью колебаний маятника.
Пружинный маятник
У пружинного маятника — груза, закреплённого на пружине, — период определяется массой груза и жёсткостью пружины:
T = 2π · корень(m / k)| Маятник | Период | От чего зависит |
|---|---|---|
| Математический | T = 2π · корень(L / g) | длина нити, ускорение свободного падения |
| Пружинный | T = 2π · корень(m / k) | масса груза, жёсткость пружины |
Разбор примера
Найдём период колебаний математического маятника длиной 1 метр. Ускорение свободного падения примем равным 10 метрам на секунду в квадрате, а число π — приблизительно 3,14.
T = 2 · 3,14 · корень(L / g);
T = 6,28 · корень(1 / 10);
корень(0,1) ≈ 0,316;
T ≈ 6,28 · 0,316 ≈ 2 с.Получилось около 2 секунд: за это время маятник совершает одно полное колебание. На таком постоянстве периода основаны маятниковые часы: длину маятника подбирают так, чтобы период был равен ровно одной или двум секундам, и тогда часы идут точно. Если же часы спешат или отстают, маятник можно слегка удлинить или укоротить.
Частые ошибки: думают, что период зависит от массы груза; забывают извлечь квадратный корень; путают формулы математического и пружинного маятников; применяют формулу при больших углах отклонения, где она уже неточна.
Кратко о главном
- Математический маятник — материальная точка на лёгкой нерастяжимой нити.
- Период математического маятника не зависит от массы и амплитуды.
- Период зависит от длины нити и ускорения свободного падения.
- Период пружинного маятника зависит от массы груза и жёсткости пружины.
- На постоянстве периода основаны маятниковые часы.