Двумерный массив: работа с диагоналями

Диагонали квадратной таблицы

Двумерный массив (таблица) задаётся двумя индексами: номером строки и номером столбца. Если число строк равно числу столбцов, таблицу называют квадратной, и в ней появляются две особые линии — главная и побочная диагональ.

Эти диагонали часто встречаются в задачах ОГЭ и при работе с матрицами в моделировании. Умение быстро обращаться к их элементам помогает решать задачи на симметрию и проверку таблиц.

Как определить элементы диагоналей

У главной диагонали номер строки равен номеру столбца: условие i = j. Эта линия идёт из левого верхнего угла в правый нижний. У побочной диагонали сумма индексов постоянна: для таблицы размером N на N выполняется i + j = N + 1. Она идёт из правого верхнего угла в левый нижний.

	столбец 1	столбец 2	столбец 3
строка 1	главная		побочная
строка 2		обе
строка 3	побочная		главная

Сумма главной диагонали

Чтобы сложить элементы главной диагонали, достаточно одного цикла, ведь у таких элементов индексы совпадают и второй цикл не нужен:

нач цел A[1:3, 1:3], i, S S := 0 нц для i от 1 до 3 S := S + A[i, i] кц вывод S кон

Для побочной диагонали элемент в строке i стоит в столбце N + 1 - i, поэтому к сумме добавляют A[i, N + 1 - i]. Здесь тоже хватает одного цикла по строкам.

Области таблицы

Диагонали делят квадратную таблицу на области: над главной диагональю стоят элементы, у которых j > i, а под ней — те, у которых j < i. Эти условия используют, когда нужно обработать только верхний или только нижний треугольник таблицы.

Правило: центральный элемент таблицы нечётного размера принадлежит сразу обеим диагоналям. При сложении всех элементов диагоналей его нельзя считать дважды.

Где применяется

Диагонали используют при вычислении следа матрицы, в задачах на симметрию таблиц, при проверке магических квадратов и в графических преобразованиях изображений. Например, в магическом квадрате суммы по обеим диагоналям должны совпадать с суммами по строкам и столбцам, и проверка диагоналей — обязательный шаг.

В играх на клетчатом поле диагонали проверяют, чтобы определить победу: три фишки в ряд по диагонали означают выигрыш так же, как и по строке или столбцу. Поэтому проверку диагоналей всегда добавляют рядом с проверкой строк и столбцов.

Частые ошибки: путают условия i = j и i + j = N + 1; выходят за границы массива при неверной формуле столбца; дважды учитывают центральный элемент при суммировании обеих диагоналей.

Кратко о главном

• Главная диагональ: i = j.
• Побочная диагональ: i + j = N + 1.
• Сумма диагонали считается за один цикл.
• Центральный элемент принадлежит обеим диагоналям.