Системы счисления

Что такое система счисления

Система счисления — это способ записи чисел с помощью набора знаков (цифр) по определённым правилам. Привычная нам запись использует десять цифр от нуля до девяти, поэтому она называется десятичной. Но компьютер хранит и обрабатывает данные иначе: внутри него используется двоичная система, в которой всего две цифры — ноль и единица.

Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. В позиционной системе значение цифры зависит от её места (позиции) в записи числа. Именно позиционные системы изучают в информатике.

Основание системы

Основание — это количество различных цифр, используемых в системе. В десятичной системе основание равно десяти, в двоичной — двум, в восьмеричной — восьми, в шестнадцатеричной — шестнадцати. В шестнадцатеричной системе для цифр больше девяти применяют буквы латинского алфавита: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15.

Перевод в десятичную систему

Чтобы перевести число в десятичную систему, каждую цифру умножают на основание в степени, равной номеру позиции (счёт справа налево с нуля), и складывают результаты.

Пример для двоичного числа:

1011 = 1*2^3 + 0*2^2 + 1*2^1 + 1*2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11

Перевод из десятичной системы

Для перевода десятичного числа в другую систему его последовательно делят на основание, записывая остатки. Затем остатки читают снизу вверх.

13 : 2 = 6, остаток 1 6 : 2 = 3, остаток 0 3 : 2 = 1, остаток 1 1 : 2 = 0, остаток 1 Ответ: 1101

Связь восьмеричной и шестнадцатеричной с двоичной

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы удобны тем, что легко переводятся в двоичную. Одна восьмеричная цифра соответствует трём двоичным разрядам (триаде), а одна шестнадцатеричная — четырём (тетраде). Поэтому длинные двоичные числа компактно записывают в шестнадцатеричном виде.

Чтобы перевести двоичное число в шестнадцатеричное, его разбивают на тетрады справа налево и каждую заменяют одной шестнадцатеричной цифрой. Если в левой группе не хватает разрядов, её дополняют нулями.

Двоичное 11010110 разбиваем на тетрады: 1101 0110 1101 = D, 0110 = 6 Ответ: D6

Арифметика в двоичной системе

Сложение двоичных чисел выполняется по тем же правилам столбика, что и в десятичной системе, только перенос в следующий разряд возникает уже при сумме, равной двум. Полезно помнить простые правила: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10 (ноль в разряде и единица в перенос).

1011 + 0110 ------ 10001

Двоичная арифметика лежит в основе работы процессора: любые вычисления компьютер в конечном счёте сводит к операциям над нулями и единицами.

Частые ошибки: в двоичной системе нет цифр больше единицы — записи вроде 1021 не существует. При делении в столбик остатки читают именно снизу вверх, а не сверху вниз. Степени основания начинают считать с нуля, а не с единицы.

Кратко о главном

• Система счисления — способ записи чисел; основание задаёт число цифр.
• Компьютер использует двоичную систему: только ноль и единица.
• В десятичную переводят разложением по степеням основания.
• Из десятичной переводят делением с остатком, читая остатки снизу вверх.
• Триада двоичных цифр — это восьмеричная цифра, тетрада — шестнадцатеричная.