Перевод дробных чисел между системами счисления

Перевод дробных чисел между системами счисления

В курсе информатики мы учимся переводить целые числа между системами счисления. Но числа бывают и дробными — с частью после запятой. Перевод таких чисел складывается из двух независимых действий: отдельно переводят целую часть и отдельно — дробную, а затем соединяют результаты.

Перевод целой части

Целую часть переводят уже знакомым способом — делением нацело на основание новой системы с записью остатков снизу вверх. Например, для перевода в двоичную систему число делят на 2, пока не получится 0, а остатки читают в обратном порядке.

Перевод дробной части

Дробную часть переводят умножением на основание новой системы. Алгоритм для перевода из десятичной в двоичную:

1. умножаем дробную часть на 2;
2. целая часть произведения становится очередной цифрой результата (0 или 1);
3. с оставшейся дробной частью повторяем умножение;
4. останавливаемся, когда дробная часть стала равна нулю или достигли нужной точности.

Цифры записываются сверху вниз — в том порядке, в котором они получались.

Разобранный пример

Переведём число 5,625 в двоичную систему. Сначала целая часть 5:

5 : 2 = 2, остаток 1
2 : 2 = 1, остаток 0
1 : 2 = 0, остаток 1
читаем снизу вверх -> 101

Теперь дробная часть 0,625:

Дробная часть стала нулём, читаем цифры сверху вниз: 0,101. Соединяем результаты: 5,625 = 101,101 в двоичной системе. Обратите внимание: целая и дробная части переводятся совершенно по-разному, и только в самом конце их объединяют запятой. Тот же приём годится и для восьмеричной или шестнадцатеричной системы — меняется лишь основание, на которое делят целую часть и умножают дробную.

Обратный перевод

Чтобы перевести двоичную дробь обратно в десятичную, каждый разряд умножают на степень двойки. Разряды после запятой имеют отрицательные степени:

101,101 = 1·4 + 0·2 + 1·1 + 1·(1/2) + 0·(1/4) + 1·(1/8) = 5,625

Частые ошибки. Целую часть переводят делением, а дробную — умножением: не перепутайте. Остатки целой части читают снизу вверх, а цифры дробной — сверху вниз. Многие дроби в двоичной системе бесконечны (например, 0,1 в десятичной), тогда перевод обрывают на заданном числе знаков.

Из-за этого компьютер хранит дробные числа лишь приближённо: бесконечную двоичную дробь округляют до определённого числа разрядов. Поэтому при вычислениях с дробными числами иногда возникают крошечные погрешности — это прямое следствие того, что не каждая привычная нам десятичная дробь точно укладывается в двоичную систему.

Кратко о главном

• Дробное число переводят по частям: целую и дробную отдельно.
• Целую часть переводят делением на основание.
• Дробную часть переводят умножением на основание.
• Цифры дробной части записывают сверху вниз.
• Не каждая десятичная дробь точно выражается в двоичной.