Логические операции и таблицы истинности
💻 Информатика · 9 класс
Алгебра логики и высказывания
Алгебра логики (булева алгебра) изучает логические высказывания и операции над ними. Высказывание — это повествовательное предложение, о котором можно определённо сказать, истинно оно или ложно. Истину обозначают единицей, ложь — нулём.
Например, «Москва — столица России» — истинное высказывание, а «два больше трёх» — ложное. Предложения-вопросы и побуждения высказываниями не являются.
Основные логические операции
Из простых высказываний строят сложные с помощью логических операций:
- Отрицание (НЕ, инверсия) — меняет значение на противоположное. Обозначается
НЕ A. - Конъюнкция (И, логическое умножение) — истинна, только когда истинны оба высказывания. Обозначается
A И B. - Дизъюнкция (ИЛИ, логическое сложение) — ложна, только когда оба высказывания ложны. Обозначается
A ИЛИ B.
В старших темах добавляют импликацию (следование) и эквивалентность (равнозначность).
Логическое умножение и сложение названы так не случайно. Конъюнкция ведёт себя как умножение: результат равен единице, только если оба сомножителя — единицы. Дизъюнкция похожа на сложение: результат равен нулю, только если оба слагаемых — нули. Это сходство помогает запоминать таблицы истинности.
Таблицы истинности
Таблица истинности показывает значение логического выражения при всех возможных наборах исходных значений. Для двух переменных получается четыре строки.
| A | B | НЕ A | A И B | A ИЛИ B |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
Порядок выполнения операций
Сначала выполняется отрицание, затем конъюнкция, потом дизъюнкция. Изменить порядок можно скобками. Разберём вычисление выражения при A=1, B=0:
(A ИЛИ B) И (НЕ B)
= (1 ИЛИ 0) И (НЕ 0)
= 1 И 1
= 1Логика и компьютер
Логические операции лежат в основе работы процессора: электронные схемы — логические вентили — выполняют именно И, ИЛИ, НЕ. Кроме того, логические выражения используют в условиях ветвлений в программах и при поиске информации в базах данных и интернете.
Например, при поиске в интернете запрос «история И география» вернёт страницы, где есть оба слова, а запрос «история ИЛИ география» — страницы, где встречается хотя бы одно из слов. Так логика помогает уточнять или расширять область поиска.
Равносильные выражения
Два логических выражения называют равносильными, если при любых значениях переменных они принимают одинаковые значения. Проверить равносильность можно, построив таблицы истинности для обоих выражений и сравнив их столбцы результатов. Если столбцы совпадают во всех строках, выражения равносильны.
НЕ (A И B) и (НЕ A) ИЛИ (НЕ B)
дают одинаковые таблицы истинности,
значит, эти выражения равносильны.Равносильные преобразования позволяют упрощать логические выражения, делая схемы и условия в программах короче и понятнее.
Частые ошибки: дизъюнкция ИЛИ в логике не исключающая — высказывание «A ИЛИ B» истинно и тогда, когда оба истинны. Нельзя путать порядок операций: отрицание сильнее конъюнкции и дизъюнкции.
Кратко о главном
- Высказывание может быть истинным (1) или ложным (0).
- Базовые операции: отрицание, конъюнкция (И), дизъюнкция (ИЛИ).
- Таблица истинности перебирает все наборы значений переменных.
- Порядок: сначала НЕ, потом И, потом ИЛИ; скобки меняют порядок.
- Логика — основа работы процессора и условий в программах.