Шестнадцатеричная система счисления

Что такое шестнадцатеричная система

Шестнадцатеричная система счисления — это позиционная система с основанием 16. В ней используется шестнадцать различных цифр: привычные 0–9 и шесть букв A, B, C, D, E, F, которые обозначают значения от десяти до пятнадцати. Буквы понадобились потому, что для чисел больше девяти не хватает обычных цифр, а каждый разряд в этой системе должен изображаться одним знаком.

Эту систему широко применяют в программировании, потому что она очень компактно записывает двоичные данные: длинные цепочки нулей и единиц превращаются в короткие записи из цифр и букв. Например, цвета на веб-страницах и адреса в памяти традиционно записывают именно в шестнадцатеричном виде.

Соответствие цифр

Шестнадцатеричная	Десятичная	Двоичная (4 разряда)
A	10	1010
B	11	1011
C	12	1100
D	13	1101
E	14	1110
F	15	1111

Связь с двоичной системой

Одна шестнадцатеричная цифра ровно соответствует четырём двоичным разрядам — одной тетраде. Это не случайность: основание 16 равно 2 в четвёртой степени. Поэтому переводить числа между двоичной и шестнадцатеричной системами очень легко. Двоичное число разбивают на группы по четыре разряда справа налево, и каждую группу заменяют одной шестнадцатеричной цифрой по таблице выше. Обратный перевод выполняют так же — каждую цифру раскрывают в четыре двоичных разряда.

Разбор примера

Перевод 2F в десятичную систему: старший разряд: 2 * 16 = 32 младший разряд: F = 15 Итого: 32 + 15 = 47 Перевод 47 в шестнадцатеричную (деление на 16): 47 : 16 = 2, остаток 15 (это цифра F) 2 : 16 = 0, остаток 2 Читаем остатки снизу вверх: 2F

Чтобы перевести шестнадцатеричное число в десятичную систему, каждую цифру умножают на основание 16 в степени, равной номеру разряда, и складывают результаты. Чтобы получить шестнадцатеричную запись из десятичного числа, его последовательно делят на 16 с остатком, а затем выписывают остатки в обратном порядке.

Главное преимущество системы видно при работе с двоичными данными. Возьмём двоичное число 10111111 — его трудно прочитать и легко ошибиться в количестве разрядов. Разобьём его на тетрады 1011 и 1111 и заменим каждую одной цифрой: получится короткая и удобная запись BF. Именно поэтому объёмы памяти, цвета и адреса часто записывают в шестнадцатеричном виде — это нагляднее длинных цепочек нулей и единиц.

Частые ошибки. Забывают, что буква F обозначает пятнадцать, а не «шестнадцать», и неверно подставляют значение. Путают порядок записи остатков: их читают снизу вверх, а не сверху вниз. Иногда смешивают разряды и теряют множитель основания.

Кратко о главном

• Основание шестнадцатеричной системы — 16, цифры от 0 до 9 и буквы A–F.
• Буквы A–F обозначают числа от десяти до пятнадцати.
• Одна шестнадцатеричная цифра соответствует четырём двоичным разрядам.
• В десятичную систему переводят умножением на степени основания, обратно — делением с остатком.