Арифметика в двоичной системе счисления

Арифметика в двоичной системе

Компьютер хранит числа в двоичной системе счисления, где есть только две цифры — 0 и 1. Все вычисления внутри процессора сводятся к действиям над двоичными числами. Действия выполняются по тем же правилам «столбиком», что и в десятичной системе, но переход в следующий разряд происходит уже при числе 2, а не 10.

Сложение двоичных чисел

Для сложения нужно помнить четыре простых случая. Главное — при результате 2 в разряде записывается 0, а единица переносится в старший разряд.

Разбор сложения: 101 (это 5) + 011 (это 3) ----- 1000 (это 8) — складываем справа налево, единицы переноса добавляем в следующий разряд.

Вычитание

Вычитание тоже выполняют столбиком. Когда из 0 нужно вычесть 1, занимают единицу из старшего разряда (она равна двум в текущем разряде), как при вычитании в десятичной системе занимают десяток.

Разбор вычитания: 110 (это 6) - 011 (это 3) ----- 011 (это 3)

Умножение

Умножение двоичных чисел особенно простое, ведь умножать приходится лишь на 0 или на 1. Умножение на 1 повторяет число, умножение на 0 даёт нули. Как и в десятичной системе, частичные произведения сдвигают и складывают. Умножение на 2 в двоичной системе — это просто приписывание нуля справа (сдвиг влево).

Деление на 2 и сдвиг вправо

Как умножение на 2 сводится к сдвигу влево, так деление чётного числа на 2 — это сдвиг вправо, то есть отбрасывание последней цифры. Например, 110 (это 6) после сдвига вправо превращается в 11 (это 3). Если же последняя цифра была единицей, то отброшенная единица означает остаток 1 — число было нечётным. Эти простые правила процессор выполняет очень быстро, поэтому умножение и деление на степени двойки в двоичной системе особенно эффективны.

Проверка результата

Чтобы убедиться в правильности, удобно перевести двоичные числа в десятичную систему. Для этого каждую цифру умножают на степень двойки по её разряду и складывают. Например, 101 = 1*4 + 0*2 + 1*1 = 5. Так же проверяют и слагаемые, и итог: если десятичные значения сходятся, вычисление выполнено верно. Этот приём помогает находить ошибки, ведь в двоичной записи легко перепутать разряды или забыть про перенос.

Частые ошибки. Забывают про перенос при 1 + 1: в разряде остаётся 0, а единица идёт в старший разряд. Путают двоичную запись с десятичной: 10 в двоичной — это 2, а не десять. Действия всегда ведут справа налево, от младшего разряда к старшему.

Кратко о главном

• В двоичной системе только две цифры: 0 и 1.
• Сложение, вычитание и умножение выполняют столбиком, как в десятичной системе.
• При сложении 1 + 1 в разряде остаётся 0, единица переносится в старший разряд.
• Умножение на 2 — это сдвиг влево (приписывание нуля справа).
• Проверить результат можно переводом чисел в десятичную систему через степени двойки.