Номер 100 — Геометрия 10 класс

Даны две скрещивающиеся прямые и точка A. Докажите, что через точку A проходит, и притом только одна, плоскость, которая либо параллельна данным прямым, либо проходит через одну из них и параллельна другой.

1. Через точку A проведём прямые a₁ ∥ a и b₁ ∥ b (если A лежит на a, то a₁ = a; аналогично для b). Прямые a₁ и b₁ пересекаются в A и различны (иначе a ∥ b), они задают плоскость γ.
2. Прямая a параллельна прямой a₁ плоскости γ, поэтому a ∥ γ или a ⊂ γ (последнее — когда A ∈ a); аналогично для b. Обе прямые не могут лежать в γ (они скрещиваются). Значит, γ — искомая плоскость.
3. Единственность: если плоскость γ′ ∋ A параллельна прямой a (или содержит её), то прямая, проходящая через A параллельно a, лежит в γ′ (для a ∥ γ′ — по свойству; для a ⊂ γ′ — очевидно). То же для b. Значит, γ′ содержит a₁ и b₁ и совпадает с γ.