Номер 102 — Геометрия 10 класс

Докажите, что плоскость α, проходящая через середины двух рёбер основания тетраэдра и вершину, не принадлежащую основанию, параллельна третьему ребру основания. Найдите периметр и площадь сечения тетраэдра плоскостью α, если длины всех рёбер тетраэдра равны 20 см.

1. Пусть M, N — середины рёбер AB и BC основания ABC, D — вершина. MN — средняя линия, MN ∥ AC, а MN ⊂ α, AC ⊄ α, значит AC ∥ α.
2. Сечение — треугольник DMN. MN = ½AC = 10 см. DM и DN — высоты правильных треугольников DAB и DBC со стороной 20 см: DM = DN = 20·√3/2 = 10√3 см.
3. Периметр: 10 + 20√3 ≈ 44,6 см. Высота равнобедренного треугольника DMN к основанию MN: √((10√3)² − 5²) = √275 = 5√11 см; S = ½·10·5√11 = 25√11 ≈ 82,9 см².